Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Планетата Наско 7

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. Национален кръг на олимпиадата по астрономия. Димитровград, 10 май 2025 г. Възрастова група XI-XII клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 12 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Гравитационна константа $G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$

Скорост на светлината във вакуум $c = 300000\ \mathrm{km/s}$

Константа на Планк $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$

Астрономическа единица $r_E = 1{,}496.10^{8}\ \mathrm{km}$

Маса на Слънцето $M_\odot = 1{,}99.10^{30}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Слънцето $R_\odot = 696000\ \mathrm{km}$

Маса на Земята $M_E = 5{,}97.10^{24}\ \mathrm{kg}$

Маса на Луната $M_L = 7{,}35.10^{22}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Луната $R_L = 1738\ \mathrm{km}$

Радиус на лунната орбита $r_L = 384400\ \mathrm{km}$

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

През 2025 г. бившият участник в олимпиадата Атанас Стефанов (випуск 2019 г.) откри трета екзопланета, обикаляща около звездата GJ 3998. Звездата е червено джудже с маса 0,52 слънчеви маси, радиус 0,50 слънчеви радиуса и фотосферна температура 3730 K. Трите планети около звездата са обозначени GJ 3998 b, GJ 3998 c и GJ 3998 d, като планетата b е на най-вътрешна орбита, а планетата d – на най-външна. Приемете, че орбитите на планетите са кръгови и лежат в една равнина. На Фигура 2 е дадена кривата на лъчевите скорости на звездата, апроксимираща най-добре спектралните данни.

Графика (завъртяна на 90°) на лъчевата скорост в m/s (от −10,0 до 10,0) спрямо BJD−2400000 в дни (от около 56850 до 56945) с измерени точки с грешки и апроксимираща вълнообразна крива. — Фигура 2. Крива на лъчевите скорости на звездата GJ 3998 (към Задача 1).

А) Пресметнете минималната възможна маса на планетата b в земни маси. [4 т.]

Б) Представете си, че сте на повърхността на планетата d. През какъв интервал от време планетата c ще има същите небесни координати като звездата? [3 т.]

В) Пресметнете приблизително средната температура на повърхността на планетата c в градуси по Целзий, приемайки, че планетата е земеподобна. [3 т.]

Г) В действителност, представените данни са коригирани за магнитна активност. Магнитната активност на звездата поражда големи тъмни петна. Защо петната влияят на наблюдаваната крива на лъчевите скорости? Подкрепете отговора си с примерна схема. [2 т.]

Решение

Решение.

А) Наличието на всяка от трите планети внася в кривата на лъчевите скорости синусоидална компонента с период, равен на орбиталния период на планетата. Тъй като периодите се различават значително, можем да разложим тези компоненти, като първо премахнем най-вътрешната планета b (червената крива), а после и планета c, за да остане само ефекта от планета d (зелената крива).

Графика на лъчевата скорост (m/s, от −10 до 10) спрямо BJD−2400000 (56850–56945): точки с грешки, черна крива b+c+d, червена крива c+d+const, зелена крива d+const. — Фигура А1. Разлагане на кривата на лъчевите скорости.

Можем да измерим орбиталния период на трите планети по диаграмата с точност ~1% за b, c и ~3% за d (тъй като за нея има само 2 пълни периода). Получаваме $P_B = 2{,}65\ \mathrm{d}$ , $P_C = 13{,}7\ \mathrm{d}$ , $P_D = 42\ \mathrm{d}$ .

Отделно от периода, за b трябва да измерим и амплитудата $u_B$ (половината от разстоянието от максимум до минимум). Измерваме множество разлики от максимум до средното на околните два минимума и след усредняване получаваме $u_B = 1{,}8\ \mathrm{m/s}$ . Ако $i$ е наклонът на орбитите спрямо небесната равнина, то скоростта на центъра на звездата спрямо центъра на масите е

v_S = \frac{u_B}{\sin i}.

Минимален резултат за скоростта, а оттам и за масата на планетата, ще получим при $i = 90^{\circ}$ (като доказването на това не се изисква от участниците). Разстоянието от центъра на звездата до центъра на масите за системата „звезда – планета b“ тогава е

r_S = \frac{v_S P_B}{2\pi} = 65{,}59\ \mathrm{km}.

Същевременно, от III закон на Кеплер намираме разстоянието от центъра на звездата до планета b,

r_B = \left(\frac{M_S}{M_\odot}\left(\frac{P_B}{1\ \mathrm{yr}}\right)^2\right)^{1/3}\ \mathrm{au} = 0{,}030\ \mathrm{au},

или $r_B = 4{,}488.10^6\ \mathrm{km} = 68420 r_S$ . То е практически равно на радиуса на орбитата на b около центъра на масите. И тъй като

M_S r_S = M_B r_B,

получаваме $M_B = M_S/68420$ , или 2,5 земни маси.

Б) Можем да изчислим синодичния период на планетата c спрямо планетата d от

\frac{1}{P_C} = \frac{1}{P_{SYN}} + \frac{1}{P_D}.

Пресмятаме и получаваме $P_{SYN} = 20{,}3\ \mathrm{d}$ . Планетата c ще има същите небесни координати като звездата в горно и в долно съединение, тоест два пъти на синодичен период. Това става веднъж на 10,2 d.

В) От III закон на Кеплер намираме разстоянието планета c – звезда,

r_C = \left(\frac{M_S}{M_\odot}\left(\frac{P_C}{1\ \mathrm{yr}}\right)^2\right)^{1/3}\ \mathrm{au} = 0{,}090\ \mathrm{au}.

Лъчистият поток на единица площ, създаван от звездата със светимост $L$ върху планетата c, ще бъде

F = \frac{L}{4\pi r_C^2},

където по закона на Стефан-Болцман $L = 4\pi R_S^2 \sigma T_S^4$ .

Проекцията на планетата, гледано от звездата, е диск с радиус $R_C$ . Умножаваме неговата площ по $F$ , за да намерим общата мощност, която планетата поема от звездата. Ако Бонд-албедото на планетата е $A$ , то умножаваме по $(1-A)$ , за да пресметнем погълната от планетата мощност, тоест енергията на единица време, която загрява планетата:

L_P = \frac{L}{4\pi r_C^2}\pi R_C^2 (1-A).

По закона за запазване на енергията тази мощност е равна на излъчената топлинно от планетата:

L_P = 4\pi R_C^2 \sigma T_C^4.

Заместваме и получаваме

4\pi R_C^2 \sigma T_C^4 = \frac{4\pi R_S^2 \sigma T_S^4}{4\pi r_C^2}\pi R_C^2(1-A) \;\Rightarrow\; T_C^4 = T_S^4 \frac{R_S^2}{r_C^2}\frac{1-A}{4},

T_C = T_S\left(\frac{R_S^2}{r_C^2}\frac{1-A}{4}\right)^{1/4}.

За земната повърхност $A = 0{,}3$ и при такава стойност получаваме $T_C = 388\ \mathrm{K} =$ 115 °C. Когато $A = 0$ , получаваме максималната възможна стойност за температурата на повърхността, без да отчитаме парников ефект $T_C = 424\ \mathrm{K} = 151\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Г) Част от разширението на линията, от чието отместване получаваме лъчевата скорост, е породено от околоосно въртене – светлината от доближаващата се половина на звездата при околоосното въртене е с намалена дължина на вълната от ефекта на Доплер, а тази от отдалечаващата се половина е с увеличена дължина на вълната. Ако голямо тъмно петно е разположено в отдалечаващата се половина, това ще отслаби червено отместената светлина и средата на линията ще се измести към синьото, и обратно. Ефектът е много слаб, но в случая е значим, тъй като за регистриране на тези маломасивни планети се изисква много висока точност в измерването на средата на линията.

Ефектът може да се забележи на Фигура А2: минимумът на линията във втория спектър (когато петното се приближава) е вдясно от средното (пунктираната крива). На четвъртия спектър, когато петното се отдалечава, минимумът е вляво.

Четири изображения на звезда с тъмно петно в различни положения и под тях четири профила на спектрална линия около 6439 Å (Normalized Flux 0.80–0.90), пунктирана средна крива и плътна изкривена крива. — Фигура А2. Влияние на магнитната активност върху профила на спектралните линии.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) Общо – 4 т.
Б) Общо – 3 т.
В) Общо – 3 т.
Г) Общо – 2 т.

Оригинал в Архива: 25-III-1112.pdf · официални решения: a25-III-1112.pdf