Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Лазерна локация на Луната

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. Национален кръг на олимпиадата по астрономия. Димитровград, 10 май 2025 г. Възрастова група XI-XII клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 13 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Гравитационна константа $G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$

Скорост на светлината във вакуум $c = 300000\ \mathrm{km/s}$

Константа на Планк $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$

Астрономическа единица $r_E = 1{,}496.10^{8}\ \mathrm{km}$

Маса на Слънцето $M_\odot = 1{,}99.10^{30}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Слънцето $R_\odot = 696000\ \mathrm{km}$

Маса на Земята $M_E = 5{,}97.10^{24}\ \mathrm{kg}$

Маса на Луната $M_L = 7{,}35.10^{22}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Луната $R_L = 1738\ \mathrm{km}$

Радиус на лунната орбита $r_L = 384400\ \mathrm{km}$

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Методът на лунната лазерна локация се основава на измерване на времето, нужно на лазерен лъч от Земята да се върне обратно от т. нар. ретрорефлектор, монтиран на лунната повърхност. Свръхточното определяне на разстоянието до Луната дава възможност да се изследват например земната прецесия и общата теория на относителността.

Астронавтите от мисията Аполо 15 оставят на Луната ретрорефлектор, който и до днес се използва за лазерна локация. Той представлява плоскост със страна $l = 85\ \mathrm{cm}$ , по която са разположени равномерно $n = 300$ малки отражателя. Всеки отражател може да се разглежда като диск с ефективен диаметър $D_{\mathrm{eff}} = 2{,}6\ \mathrm{cm}$ . Поради лунния прах по тях, отражателите връщат само част $k = 0{,}1$ от идващото излъчване.

Обсерваторията Apache Point в щата Ню Мексико разполага с най-добрите възможности за лазерна локация. Тя изпраща към Луната лазерни импулси с дължина на вълната $\lambda = 532\ \mathrm{nm}$ , всеки от които има енергия $E = 115\ \mathrm{mJ}$ и продължителност $\tau = 9.10^{-11}\ \mathrm{s}$ . Импулсите се излъчват от фокуса на телескопа и се предават от обектива (диаметър $D_{\mathrm{T}} = 3{,}5\ \mathrm{m}$ ) към Луната. При изхода от телескопа снопът излъчване може да се приеме за идеално колимиран (с ъгъл на разходимост нула) и съвпадащ с главната оптична ос. При преминаване през оптичната система на телескопа и атмосферата се запазва само част $\eta = 0{,}5$ от излъчването. През цялото време воденето на телескопа е свързано с Луната. Всеки импулс се отразява от ретрорефлектора и върнатият към Земята сигнал се изследва със същия телескоп. При това се използва тесноивичен филтър, който пропуска част $f = 0{,}25$ от излъчването. Квантовата ефективност на детектора е $Q = 0{,}3$ . Тя се явява отношението на броя засечени фотони към броя попаднали върху детектора фотони.

Характерната астрономическа видимост на мястото на обсерваторията е $\phi = 1''$ . Това означава, че в резултат на атмосферната турбулентност точков източник на небето се размазва до кръгче с именно такъв ъглов диаметър. Може да приемете, че в рамките на това кръгче интензитетът се разпределя равномерно.

А) С каква точност $\alpha$ (в дъгови секунди) трябва да насочим лазера по небето към правилното място по лунния диск, така че поне някаква част от лазерното излъчване да попадне в ретрорефлектора? [1 т.]

Б) Оценете на какво ъглово отстояние $\beta$ (в дъгови секунди) от видимото положение на ретрорефлектора трябва да изпратим лазерния импулс, така че центърът на снопа да попадне в ретрорефлектора. Не отчитайте околоосното въртене на Земята. [2 т.]

В) Оказва се, че върнатият от ретрорефлектора сигнал влиза под ъгъл $\gamma$ спрямо главната оптична ос на телескопа. Намерете връзката между $\gamma$ и $\beta$ . [1,5 т.]

Г) Оценете по порядък очаквания брой фотони $N$ , който детекторът ще засече от един импулс след отражението му от ретрорефлектора. Опишете приближенията, които използвате. [5,5 т.]

Либрацията на Луната и продължителността на лазерния импулс са два фактора, които водят до неизбежна грешка при определянето на разстоянието от обсерваторията до ретрорефлектора. На Фигура 3 е дадена либрацията на Луната по ширина и дължина през 12 часа за период от 18,6 години. Да приемем, че равнината на ретрорефлектора е разположена перпендикулярно на направлението към Земята, когато либрацията по ширина и дължина е нула. Ретрорефлекторът е монтиран на селенографска ширина $\varphi = 26^{\circ}\ \mathrm{N}$ .

Точкова диаграма: либрация по ширина (°) от −8 до 8 по ординатата срещу либрация по дължина (°) от −10 до 10 по абсцисата; точките запълват правоъгълник приблизително от −8 до 8 по дължина и от −7 до 7 по ширина. — Фигура 3. Данни за либрация на Луната (към Задача 3).

Д) Оценете грешката $\Delta r$ (в сантиметри) при определяне на разстоянието обсерватория-ретрорефлектор, когато условията на либрация са най-лоши за целта. [3 т.]

Решение

Решение.

А) Както е указано в условието, когато излъчването от звезда премине през атмосферата, то придобива ъгъл на разходимост $\phi = 1''$ . Това е вярно и в обратната посока, тоест лазерният импулс придобива същата разходимост. Гледано от нас, той ще покрива кръгче с диаметър $\phi$ по лунния диск. Точното необходимо място на прицелване на лазера трябва да попада в рамките на това кръгче, тоест центърът на кръгчето може да отстои на максимум $\phi/2$ от него. Така $\alpha = \phi/2 = \mathbf{0{,}5''}$ .

Б) Направлението на импулса трябва да е такова, че в момента на достигане на Луната центърът му да съвпадне с положението на ретрорефлектора. Във всеки даден момент видимото от Земята положение на Луната по небето съответства на истинското положение на Луната в пространството преди време $t_0 = r_L/c$ . А импулсът трябва да се изпрати към мястото на Луната в пространството след време още $t_0$ . Орбиталната скорост на Луната е $v = 2\pi r_L/T = 1{,}0\ \mathrm{km/s}$ . Тогава разстоянието в пространството между видимото място на ретрорефлектора и мястото му на контакт с импулса е $2vt_0$ . По земното небе това съответства на ъглово отстояние

\beta = \frac{2vt_0}{r_L} = \frac{2v}{c} = \mathbf{1{,}4''}.

В) Всеки приет от нас сигнал от ретрорефлектора идва от видимото положение на ретрорефлектора – все пак това е определението за видимо положение. Същевременно главната оптична ос на телескопа винаги следи правилното място на насочване на лазера от предишното подусловие. Тогава заключаваме, че $\boldsymbol{\gamma = \beta}$ . Тук не се изисква намиране на точна числена стойност.

Същият извод може да се направи и по доста по-сложен начин, проследявайки пътя на лъчите в отправната система на ретрорефлектора и връщайки се в отправната система на наблюдателя. Съвсем накратко, всяка една смяна на отправната система се асоциира с ъгъл на аберация $v/c$ . Оттук може да получим израза $\gamma = 2v/c$ , за който забелязваме, че съвпада с израза за $\beta$ .

Г) В началото броят фотони е $N_0 = E/\left(\frac{hc}{\lambda}\right)$ . С излизане от атмосферата той се умножава по $\eta$ . В резултат на разходимостта поради астрономическата видимост снопът има площ $\pi(\phi r_L)^2/4$ при достигането си до Луната. Той се приема от обща повърхност $n\pi D_{\mathrm{eff}}^2/4$ , която отразява само част $k$ от фотоните. Така в обратно направление се отправя брой фотони

N_{\mathrm{back}} = \frac{\eta k n E \lambda D_{\mathrm{eff}}^2}{hc\phi^2 r_L^2}.

След отражението основният фактор за разходимостта на импулса става дифракцията. Това може да се провери, като намерим ъгловия диаметър на диска на Ейри за ефективния диаметър на отражателите $D_{\mathrm{eff}}$ :

2\theta = 2\frac{1{,}22\lambda}{D_{\mathrm{eff}}} = 5.10^{-5}\ \mathrm{rad} = 10'' \gg \phi.

Сега за оценката си ще приемем, че в рамките на диска на Ейри интензитетът е разпределен равномерно. Преди навлизане обратно в земната атмосфера снопът има площ $\pi(\theta r_L)^2$ . Той се приема от площ $\pi D_{\mathrm{T}}^2/4$ , като тогава до детектора достигат $N_{\mathrm{back}}\eta D_{\mathrm{T}}^2/4(\theta r_L)^2$ фотона, защото има още едно преминаване през оптиката и атмосферата. От тези фотони заради филтъра и квантовата ефективност се засича само част $fQ$ . Накрая достигаме до

N = \frac{\eta^2 k f Q n D_{\mathrm{eff}}^4 D_{\mathrm{T}}^2}{4(1{,}22)^2\phi^2 r_L^4 hc\lambda} \approx \mathbf{1}.

Д) Грешката в измерването на разстоянието идва от това, че броят получени фотони е много малък, а отделните фотони от импулса са неразличими. Като пример, ако няма либрация, фотон в задния край на импулса се връща време $\tau = 9.10^{-11}\ \mathrm{s}$ след фотон от предния край на импулса. За фотони в задния край и в средата разликата става $\tau' = \tau/2$ . Тъй като разстоянието до Луната $r_L$ се изчислява от времето на пътуване $t$ по връзката $r_L = ct/2$ , продължителността на лазерния импулс ще се асоциира с грешка $\Delta r_\tau = c\tau'/2 = 0{,}7\ \mathrm{cm}$ .

При наличие на либрация плоскостта на ретрорефлектора е наклонена спрямо зрителния лъч и затова някои ъглови отражатели са по-далеч от други спрямо импулса – обаче няма начин да различим от кой ъглов отражател идват върнатите фотони. Нека ъгълът на наклон на плоскостта е $\xi$ . Разликата в разстоянията до най-близкия и най-далечния ъглов отражател става $l\sin\xi$ . Грешката при определяне на разстоянието тогава трябва да е $\Delta r_\xi = l\sin\xi/2 \approx l\xi/2$ .

Съгласно фигурата най-лошият вариант откъм либрация има компоненти $\xi_\varphi = 6{,}8^{\circ}$ по ширина и $\xi_\lambda = 8{,}0^{\circ}$ по дължина. Значението на тези ъгли е подобно на деклинацията и ректасцензията по небесната сфера. Затова може да запишем

\xi = \sqrt{\xi_\varphi^2 + (\xi_\lambda\cos\varphi)^2} = 9{,}9^{\circ}.

Така пресмятаме $\Delta r_\xi = 7{,}3\ \mathrm{cm}$ . Както знаем от теорията на грешките, най-правилно е да съберем двата независими източника на грешка квадратично. За пълната грешка в определянето на разстоянието имаме

\Delta r = \sqrt{\Delta r_\tau^2 + \Delta r_\xi^2} \approx \Delta r_\xi \approx \mathbf{7\ cm}.

Коментар. Източниците на експериментална грешка в действителност са много повече, но дадените в задачата са тези, чието влияние се оценява най-лесно. Тъй като в един наблюдателен сеанс към Луната се пращат множество импулси, грешката може да бъде намалена, и при оптимални условия на либрация точността на лазерната локация достига милиметри.

Литература:
[1] https://arxiv.org/abs/1309.6294

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За разбиране, че разходимостта поради атмосферата не зависи от посоката на лъчите – 0,5 т.
За верен числен резултат – 0,5 т.

Б) За разбиране, че виждаме Луната по небето в минало нейно положение – 0,5 т.
За разбиране, че трябва да насочим лазера към бъдещото положение на Луната – 0,5 т.
За израз за $\beta$ – 0,5 т. (признават се и при изпусната двойка)
За верен числен резултат – 0,5 т.

В) За отговор $\gamma = \beta$ – 0,5 т.
За аргументация – 1 т.

Г) За намиране на броя излъчени фотони $N_0$ – 1 т.
За намиране на броя фотони $N_{\mathrm{back}}$ , върнати от ретрорефлектора – 1 т. (ако е изпуснато $n$ или $k$ – 0,5 т.)
За разбиране, че дифракцията е най-важният фактор по пътя наобратно; за правилна формула за ъгловия размер на снопа фотони – 1,5 т.
За намиране на броя фотони $N$ , регистрирани от детектора – 1 т. (ако е изпуснато $f$ или $Q$ – 0,5 т.)
За двукратно отчитане на загубите от атмосферата и оптиката – 0,5 т.
За верен числен резултат – 0,5 т.

Д) За обяснение как дължината на импулса се явява източник на грешка – 0,5 т.
За изчисляване на тази грешка – 0,5 т. (ако няма множител ½ за пътя – 0 т.)
За обяснение как либрацията се явява източник на грешка – 0,5 т.
За измервания и изчисляване на тази грешка – 1 т. (ако няма косинус – 0,5 т.)
За правилен подход при събиране на грешките и краен резултат – 0,5 т.

Точкова диаграма: либрация по ширина (°) от −8 до 8 спрямо либрация по дължина (°) от −10 до 10; точките запълват приблизително правоъгълник от −8 до 8 по дължина и от −7 до 7 по ширина, с уплътнения по горния и долния ръб. — Фигура 3. Данни за либрация на Луната (към Задача 3).

Оригинал в Архива: 25-III-1112.pdf · официални решения: a25-III-1112.pdf