Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Ета Кил

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ. XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. Национален кръг на олимпиадата по астрономия. Димитровград, 10 май 2025 г. Възрастова група XI-XII клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 13 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Гравитационна константа $G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$

Скорост на светлината във вакуум $c = 300000\ \mathrm{km/s}$

Константа на Планк $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$

Астрономическа единица $r_E = 1{,}496.10^{8}\ \mathrm{km}$

Маса на Слънцето $M_\odot = 1{,}99.10^{30}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Слънцето $R_\odot = 696000\ \mathrm{km}$

Маса на Земята $M_E = 5{,}97.10^{24}\ \mathrm{kg}$

Маса на Луната $M_L = 7{,}35.10^{22}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Луната $R_L = 1738\ \mathrm{km}$

Радиус на лунната орбита $r_L = 384400\ \mathrm{km}$

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Звездата Ета Кил има далеч най-голяма светимост измежду всички звезди, видими с просто око на нощното небе. Тя е представител на т.нар. ярки сини променливи. Това са масивни звезди към края на живота си, които спорадично претърпяват гигантски избухвания, с което изхвърлят голяма част от масата си.

В резултат на такова избухване, наблюдавано около 1843 г., Ета Кил изхвърля практически наведнъж огромно количество газ и прах с набор от различни постоянни скорости, насочени радиално навън от звездата. Това води до появата на мъглявината Хомункулус. Тя има биполярна структура с екваториален диск и два издатъка по оста ѝ на симетрия. Издатъците са на практика кухи, тоест изхвърленият прах е съсредоточен в тънка черупка с определена дебелина.

През 2000 г. с помощта на телескопа Хъбъл е изследван спектърът на мъглявината. Ориентацията на процепа на спектрографа е избрана да съвпада с оста на симетрия на мъглявината, както е показано на Фигура 4. Издатъкът в долния ляв край на фигурата (SE) е по-близък до наблюдателя и при него оптичната плътност е по-голяма. Това означава, че при него се засича излъчване само от обърнатата към нас негова страна, докато при другия издатък се засича излъчване и от предната, и от задната му страна, което прави анализа на спектъра значително по-сложен. По-нататък в задачата се работи само със спектрите на издатъка SE и на екваториалния диск.

Черно-бяло изображение на биполярната мъглявина Хомункулус с централна звезда; отбелязани посоки N (горе) и E (ляво), наклонена линия SLIT през оста на симетрия от долен ляв (SE) към горен десен край (NW); мащабна отсечка 5″. — Фигура 4. Мъглявината Хомункулус (към Задача 4).

По дължината на целия процеп се разглежда профилът на линията [Ni II] с лабораторна дължина на вълната $\lambda_0 = 7380\ \mathrm{\AA}$ . За пример на Фигура 5 е показан нейният профил на позиции $2{,}15''\ \mathrm{NW}$ и $4{,}56''\ \mathrm{SE}$ по процепа (позицията нула е при централната звезда). На фигурата дължината на вълната е директно превърната в съответстващата ѝ по ефекта на Доплер лъчева скорост. Всички лъчеви скорости не са спрямо Слънцето, а са вече коригирани така, че да са относно централната звезда. Фигура 6(а) обобщава интензитета на линията в зависимост от позицията по процепа. Фигура 6(б) указва схематично елементите на спектъра. Скоростите от участък 1 са свързани с емисионни линии на разширяващия се газ по черупката. Участък 2 се асоциира с излъчване на газ от околностите на Ета Кил, намиращ се в покой. Това излъчване се отразява дифузно към нас от праха в черупката, като в отправната система на праха отражението не променя енергията на излъчването. Участък 3 съответства на собствени емисионни линии от газа по екваториалния диск.

Два спектрални профила на линията λ7380 спрямо лъчева скорост [km/s] от −1000 до +1000: горен при 2.15″ NW с три-четири максимума около −200…+50 km/s, долен при 4.56″ SE с тесен пик около −550 km/s и широк пик около +50 km/s; максимумите са отбелязани с вертикални чертички. — Фигура 5. Профил на линията [Ni II] на две места по процепа (към Задача 4).

На Фигура 7 са дадени само максимумите на спектралните линии от участък 1 и участък 2. В първата подточка на задачата правете измерванията си по нея при позиции от $5{,}5''\ \mathrm{SE}$ до $7{,}0''\ \mathrm{SE}$ .

Диаграма на позиция по процепа [″] (от +5 NW до около −8 SE) срещу лъчева скорост [km/s] (от −500 до +500; горна ос от −10 до +10): две последователности от точки (кръгчета, квадратчета, плюсове и хиксове) — една ляв клон около −500…−550 km/s и една десен клон от 0 до около +400 km/s, спускащи се от 0″ до около −8″ SE. — Фигура 7. Спектрални наблюдения по участъци 1 и 2 (към Задача 4).

А) Определете разстоянието $r$ до Ета Кил. [6 т.]

Б) Оценете дебелината $d$ на черупката на мъглявината Хомункулус. Пренебрегнете инструменталната грешка при получаването на спектъра. [3 т.]

В Таблица 1 са дадени наблюдения за максимумите $v_r$ на спектралните линии по участък 3 спрямо позицията $\delta$ по процепа на спектрографа.

δ [″]	$v_r$ [km/s]	δ [″]	$v_r$ [km/s]
1,74	-118	3,48	-208
2,13	-139	3,86	-208
2,51	-158	4,30	-247
3,02	-168	4,54	-263

Таблица 1. Спектрални наблюдения по участък 3 (към Задача 4).

Панел а) [Ni II]: сив двумерен спектър — позиция по процепа [″] от 10 NW до 10 SE срещу лъчева скорост [km/s] от −500 до +500; панел б): схематични криви на елементите на спектъра, означени 1 (непрекъсната крива в SE), 2 (пунктирана крива в SE) и 3 (отсечки в NW), с централната звезда в 0. — Фигура 6. Пълен спектър на мъглявината Хомункулус (към Задача 4).

В) Представете наблюденията на графика и от нея определете наклона на оста на мъглявината Хомункулус $i$ спрямо зрителния лъч. [4 т.]

Решение

Решение.

А) Методът за намиране на разстоянието до звездата се основава на разликата между лъчевите скорости, съответстващи на собствените емисионни линии на газа в черупката и отразеното от черупката излъчване. Да разгледаме участък от черупката, изследван от спектрографа. Нека характерната му скорост на отдалечаване от централната звезда е $v$ . Възрастта на мъглявината при получаване на спектъра е $t = 2000 - 1843 = 157\ \mathrm{yr}$ , като разстоянието от участъка до звездата е $D = vt$ .

Въвеждаме координатни оси $z$ и $x$ съответно по и перпендикулярно на зрителния лъч, като координатното начало е при звездата и $x > 0$ за издатъка NE. Лъчевата скорост $v_r$ на участъка се явява проекцията на $v$ по оста $z$ . При това $z = v_r t$ , включително когато участъкът се приближава към нас и лъчевата скорост е отрицателна.

Схема на биполярната мъглявина Хомункулус с оси x (нагоре) и z (надясно, по зрителния лъч), стрелка „към наблюдателя“ наляво, ос на симетрия NW–SE под ъгъл i спрямо z, ъгъл 90°−i, разстояние D до участък от черупката SE и вектори на скоростите v, Δv и лъчевите скорости v_r, Δv_r. — Фигура А6. Геометрия на мъглявината Хомункулус.

Компонентата на [Ni II] линията, идваща от собственото излъчване на участъка, има спектрално отместване, отговарящо именно на лъчевата скорост $v_r$ . С компонентата, която съответства на отражение, ситуацията е по-сложна. В отправната система на праха светлината от централната област на мъглявината търпи червено отместване, съответстващо на скорост на наблюдателя $v$ , тоест дължината на вълната на максимума се измества на

\lambda' = \frac{\lambda_0}{1 - \frac{v}{c}} \approx \lambda_0\left(1 + \frac{v}{c}\right).

При преизлъчването това може да се разглежда като новата лабораторна дължина на вълната. За нас преизлъчването става с лъчева скорост $v_r$ , при което регистрираната от нас дължина на вълната е

\lambda = \lambda'\left(1 + \frac{v_r}{c}\right) = \lambda_0\left(1 + \frac{v}{c}\right)\left(1 + \frac{v_r}{c}\right) \approx \lambda_0\left(1 + \frac{v + v_r}{c}\right).

Правим извода, че отместването на компонентата от отражение ще отговаря на лъчева скорост $v + v_r$ . По-убедителен начин да докажем това е чрез релативистко извеждане, но това изисква повече опит и не се очаква от участниците. Отбелязваме, че тъй като $v > |v_r| > 0$ , величината $v + v_r$ ще е положителна.

Пристъпваме към измерванията. За позициите $\delta$ по процепа между $5{,}5''$ и $7{,}0''$ може да получим съответно от участък 1 и 2 стойностите $v_1 = v_r$ и $v_2 = v + v_r$ . Разликата между тях е $v_2 - v_1 = v$ . Оттук чрез $x^2 + z^2 = D^2$ достигаме до

x = \sqrt{\left((v_2 - v_1)t\right)^2 - (v_1 t)^2}.

Но $x$ е пряко свързано с разстоянието до звездата чрез $x = \delta r$ , откъдето

r = \frac{\sqrt{v_2^2 - 2v_1 v_2}}{\delta}t.

С тази зависимост изчисляваме $r$ по няколко стойности на $\delta$ :

$\delta$ [″]	$v_1$ [km/s]	$v_2$ [km/s]	$\sqrt{v_2^2 - 2v_1v_2}$ [km/s]	$r$ [km/″]
5,5	-508	106	345	3,10.10¹¹
6,0	-494	141	399	3,29.10¹¹
6,5	-438	188	447	3,40.10¹¹
7,0	-414	227	485	3,46.10¹¹

Сега усредняваме до $r = 3{,}31.10^{11}\ \mathrm{km}/''$ . Имайки предвид, че $1'' \cdot 1\ \mathrm{pc} = 1\ \mathrm{au}$ , превръщането на нашия резултат за $r$ в парсеци изисква само да го разделим на $1{,}496.10^8$ , защото именно толкова km дават 1 au. Крайният ни отговор е

r = \mathbf{2200\ pc}.

Б) Ще определим характерната дебелина на черупката по наблюдението на $4{,}56''$ SE от Фигура 5. Там профилът на линията на собствено излъчване е центриран при $v_r = -564\ \mathrm{km/s}$ . Ширината на линията стандартно се отчита на нивото на интензитет, намиращо се по средата между фона около линията и максимума на линията (т.нар. FWHM, от „full width at half maximum“). Тази ширина е $\Delta v_r = 108\ \mathrm{km/s}$ .

Съгласно условието може да приемем, че ширината не идва от инструментална грешка, а е пряко свързана с дебелината на черупката. Идеята е, че дебелината идва от различието в скоростите на отдалечаване на изхвърления материал. Ако предният и задният край на черупката имат разлика в скоростите на отдалечаване $\Delta v$ , то дебелината е $d = \Delta v t$ , защото разширяването става с постоянна скорост. Нека характерната скорост на разширение на черупката при $4{,}56''$ SE е $v$ . Тогава е вярно

\frac{\Delta v_r}{\Delta v} = \frac{|v_r|}{v}.

От предишната част на задачата знаем, че разликата в скоростите от Фигура 7 дава именно $v$ . Така измерваме $v = 644\ \mathrm{km/s}$ , откъдето пресмятаме $\Delta v = 123\ \mathrm{km/s}$ . Това води до отговора $d = \mathbf{6.10^{11}\ km}$ .

Диаграма на позиция по процепа ['] (SE отдолу, NW отгоре, от −10 до +10) срещу лъчева скорост [km/s] от −500 до +500; две редици от точки (кръгчета, квадрати, кръстчета) от около 0 до −9' — лява около −500 km/s и дясна от 0 до +400 km/s. — Фигура 7. Спектрални наблюдения по участъци 1 и 2 (към Задача 4).

В) Първо ще разгледаме как наклонът на екваториалния диск спрямо зрителния лъч (той е $90^{\circ} - i$ ) може да се определи от дадените наблюдения. Ако участък от диска се отдалечава от Ета Кил със скорост $v$ , лъчевата му скорост ще е $v_r = -v\sin i$ .

Графика на v_r [km/s] (от −300 до −100) спрямо δ [″] (от 1 до 5) с осем наблюдателни точки и синя права на най-добро съответствие с отрицателен наклон; пунктиран триъгълник илюстрира определянето на наклона. — Фигура А7. Графика на лъчевата скорост $v_r$ спрямо позицията $\delta$ .

Тъй като тангенциалната му скорост е $v\cos i$ , позицията му по оста $x$ е просто $x = (v\cos i)t$ . Тя обаче може да се изрази и като $x = \delta r$ . Така достигаме

v_r = -\left(\frac{r\tan i}{t}\right)\delta.

Затова графиката на $v_r$ в зависимост от $\delta$ следва да е права линия с наклон $a = -r\tan i/t$ . Нанасяме съответните точки и прекарваме правата, която им пасва най-добре. Така намираме $a = -49{,}8\ \mathrm{km/(s\cdot{}'')}$ .

Сега остава да използваме резултата си за разстоянието $r$ . Най-удобно е да вземем това разстояние като $r = 3{,}31.10^{11}\ \mathrm{km}/''$ . Получаваме $\tan i = 0{,}74$ , откъдето следва $i = \mathbf{37^{\circ}}$ .

Литература:
[1] https://iopscience.iop.org/article/10.1086/319419/pdf

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За интерпретация на спектралното отместване на отразеното от праха излъчване – 1,5 т.
За правилен геометричен модел на разширяването на черупката – 1 т.
За извеждане на връзка между позицията $\delta$ и разстоянието $r$ – 1 т.
За достатъчен брой (≥ 4) измервания – 1,5 т.
За вярна усреднена стойност за разстоянието $r$ – 1 т.

Б) За измерване на интервала лъчеви скорости $\Delta v_r$ по профила на линията – 1 т.
За намиране на интерваала от скорости на разширение $\Delta v$ – 1 т.
За формула за дебелината $d$ и верен числен резултат – 1 т.

В) За извеждане на връзка между $v_r$ и $\delta$ за екваториалния диск – 1 т.
За техническо изпълнение на графиката – 2 т.
За намиране на наклона и краен резултат – 1 т.

$\delta$ ["]	$v_r$ [km/s]	$\delta$ ["]	$v_r$ [km/s]
1,74	-118	3,48	-208
2,13	-139	3,86	-208
2,51	-158	4,30	-247
3,02	-168	4,54	-263

Таблица 1. Спектрални наблюдения по участък 3 (към Задача 4).

а) Спектрално изображение [Ni II]: позиция по процепа ['] от 10 (SE) до 10 (NW) срещу лъчева скорост [km/s] от −500 до 500; б) схема с криви, означени 1, 2 (пунктирана) и 3, и централна звезда при 0. — Фигура 6. Пълен спектър на мъглявината Хомункулус (към Задача 4).

Оригинал в Архива: 25-III-1112.pdf · официални решения: a25-III-1112.pdf