Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 1. Спътници на Нептун

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг на олимпиадата по астрономия · Димитровград, 10 май 2025 г. · Възрастова група VII-VIII клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 13 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Радиус на орбитата на Земята $r_E = 1\ \mathrm{au} = 149{,}6 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$

Радиус на орбитата на Венера $r_V = 0{,}723\ \mathrm{au}$

Орбитален период на Земята $T_E = 365{,}25\ \mathrm{d}$

Период на околоосно въртене на Юпитер $P = 9{,}925\ \mathrm{h}$ (часа)

Орбитален период на Европа $T = 3{,}551\ \mathrm{d}$

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Нептун има 16 известни спътника, но само два от тях са открити преди 1980 г. – Тритон и Нереида. Тритон има радиус 1353 km, средна плътност 2,06 g/cm $^3$ и обикаля около Нептун по кръгова орбита с радиус 355 000 km за 5,87 дни. Нереида има радиус 179 km, средна плътност 1,5 g/cm $^3$ и обикаля около Нептун по силно елиптична орбита, изцяло външна за Тритон. Ексцентрицитетът на орбитата на Нереида е $e = 0{,}75$ , т.е. минималното разстояние $r_P$ до центъра на Нептун е със 75% по-малко от средното, а максималното разстояние $r_A$ – със 75% по-голямо от средното. Тритон е известен с това, че се върти около Нептун в обратна посока спрямо останалите големи спътници и спрямо околоосното въртене на планетата, което означава, че вероятно преди време е бил планета-джудже, захваната гравитационно от Нептун.

А) Колко пъти по-масивен е Тритон от Нереида? [3 т.]

Б) Колко пъти по-голяма е площта на Тритон от тази на Гренландия? Площта на Гренландия е 2,17 милиона квадратни километра. [3 т.]

В) Максималното разстояние между Тритон и Нереида е 9,8 пъти по-голямо от минималното. Изчислете средното разстояние $a$ от центъра на Нептун до Нереида. То е равно на голямата полуос на орбитата на Нереида (половината от размера на орбитата). Наклоните на орбитите една спрямо друга да се пренебрегнат. [4 т.]

През 1989 г. е открит по-голям спътник от Нереида, наречен Протей. Протей има радиус 210 km и обикаля около Нептун по кръгова орбита с радиус 118 000 km.

Г) Според III закон на Кеплер, ако два обекта обикалят около масивно тяло по кръгови орбити, то радиусите на орбитите им на 3-та степен, разделени на орбиталните им периоди на 2-ра степен, дават едно и също число ( $r^3/T^2 = \mathrm{const}$ ). С каква скорост (в km/s) се движи Протей по орбитата си около Нептун? [3 т.]

Решение

Решение:

А) Масата на кълбо с радиус $R$ , обем $V$ и средна плътност $\rho$ е:

M = \rho V = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho.

Оттук, отношението на масите на Тритон и Нереида е:

\frac{M_T}{M_N} = \left(\frac{R_T}{R_N}\right)^3 \frac{\rho_T}{\rho_N} = \left(\frac{1353}{179}\right)^3 \frac{2{,}06}{1{,}5} \approx \mathbf{590}.

Б) Площта на Тритон (сфера с радиус $R_T = 1353\ \mathrm{km}$ ) е:

S_T = 4\pi R_T^2 = 23{,}0.10^6\ \mathrm{km^2}.

Тя е приблизително 10,6 пъти по-голяма от площта на Гренландия ( $2{,}17.10^6\ \mathrm{km^2}$ ).

В) От условието съставяме формулите за разстоянията от Нептун до перицентъра и апоцентъра (най-близката и най-далечната точка по орбитата на даден обект):

r_P = a(1-e),\quad r_A = a(1+e).

Минималното разстояние Тритон-Нереида ще се получи, когато Нереида е в перицентъра на своята орбита и Нептун-Тритон-Нереида лежат на една права, в този ред. То е:

r_1 = r_P - r_T = a(1-e) - r_T.

Максималното разстояние Тритон-Нереида ще се получи, когато Нереида е в апоцентъра на своята орбита и Тритон-Нептун-Нереида лежат на една права, в този ред. То е:

r_2 = r_P + r_T = a(1+e) + r_T.

Радиусът на орбитата на Тритон (малкият кръг на фигурата) е $r_T = 355\ 000\ \mathrm{km}$ .

Елиптична орбита на Нереида (NEREID) с малък кръг – орбитата на Тритон (TRITON) около Нептун вдясно; отбелязани са отсечките r_A, r_P (горе) и r_2, r_1 (долу) със стрелки. — Фигура А1. Орбити на Тритон и Нереида.

Решаваме даденото уравнение:

r_2 = 9{,}8 r_1 \implies a(1+e) + r_T = 9{,}8\left(a(1-e) - r_T\right),

1{,}75a + r_T = 9{,}8.0{,}25a - 9{,}8 r_T,

10{,}8 r_T = (9{,}8.0{,}25 - 1{,}75)a,

a = \frac{10{,}8}{9{,}8.0{,}25 - 1{,}75} r_T = \mathbf{5\ 480\ 000\ km}

Г) Използваме III Закон на Кеплер, за да сравним орбитите на Протей и Тритон:

\frac{r_P^3}{T_P^2} = \frac{r_T^3}{T_T^2}

Имаме

r_P = 118\ 000\ \mathrm{km},\quad r_T = 355\ 000\ \mathrm{km},\quad T_T = 5{,}87\ \mathrm{d}.

С това изчисляваме орбиталния период на Протей,

T_P = T_T\sqrt{\left(\frac{r_P}{r_T}\right)^3} = T_T\left(\frac{r_P}{r_T}\right)^{3/2} = 1{,}125\ \mathrm{d}.

Скоростта по кръгова орбита е равна на обиколката, разделена на орбиталния период:

v_P = \frac{2\pi r_P}{T_P} = \mathbf{7{,}63\ km/s}.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):
А) Общо – 3 т.
Б) Общо – 3 т.
В) Общо – 4 т.
Г) Общо – 3 т.

Оригинал в Архива: 25-III-78.pdf · официални решения: a25-III-78.pdf