НОА 2025, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Планета в небето

Решение:

А) Датата 3 април е около 11-12 дни след настъпването на пролетното равноденствие. Следователно можем да предположим, че на тази дата Слънцето все още се намира в съзвездието Риби (в което е разположена пролетната равноденствена точка). Това означава, че в следващите месеци предстои Слънцето да премине през съзвездието Бик, в което според условието на задачата Венера се наблюдава. Тъй като годишното движение на Слънцето по еклиптиката се извършва в посока от запад на изток, то на 3 април 2012 г. Венера се е намирала в посока изток от него. Оттук можем да направим извода, че тя е залязвала малко след Слънцето, т.е. имала е вечерна видимост и е била Вечерница.

Б) Начертаваме орбитите на Венера и Земята като две концентрични окръжности, в чийто център е разположено Слънцето (т. S на чертежа). Разумно е радиусът на земната орбита да бъде например 7,5 cm. В този мащаб, би следвало радиусът на орбитата на Венера да е приблизително равен на 5,4 cm. Обозначаваме посоките на движение на двете планети по техните орбити (тези посоки съвпадат).

Избираме точка по орбитата на Земята, в която нашата планета се е намирала на 3 април 2012 г., и означаваме тази точка с А. За да намерим положението на Венера за тази дата, процедираме по следния начин:

• Свързваме точки А и S (Земята и Слънцето);
• Построяваме ъгъл, равен на 46⁰ (ъгловото отстояние между Венера и Слънцето за тази дата), с връх Земята. Гледано от Земята, Венера се е наблюдавала в източна посока,, спрямо Слънцето, т.е. тя, гледана от нашата планета, е отместена от Слънцето в посоката на неговото годишно движение.
• Забелязваме, че правата, на която лежат Земята и Венера, практически се явява допирателна към орбитата на Венера. Това означава, че на тази дата тя е била много близо до максимална елонгация за земния наблюдател. В случая това е максимална източна елонгация. Означаваме с В точката по венерианската орбита, в която правата се допира до нея.

Ако с $T_V$ означим орбиталния период на Венера, изразен в години, то съгласно III закон на Кеплер

Оттук намираме, че $T_V \approx 0{,}615\ \mathrm{yr} \approx 225\ \mathrm{d}$. От 3 април 2012 г. до 3 април 2016 г. е изминал интервал от време $t = 1\ 461\ \mathrm{d}$. За това време Венера се е завъртяла по своята орбита на ъгъл

Това означава, че тя е извършила шест пълни обиколки около Слънцето, и е изминала 182⁰ от седмата. Точката, в която Венера е била на 3 април 2016 г., се намира на отстояние 2⁰ от точката, която е срещуположна на т. В, измервано в посоката на орбиталното движение на планетите. Нанасяме тази точка по орбитата на Венера и я означаваме с С.

На 3 април 2016 г. Земята се е намирала в същата точка по своята орбита, в която е била и четири години по-рано, т.е. в т. А.

За да определим на какво ъглово отстояние от Слънцето се е наблюдавала Венера на 3 април 2016г за земен наблюдател, свързваме т. А и т. С с отсечка и измерваме ъгъл SAC. Получаваме около 16° (което е много близо до истинската стойност).

От чертежа можем да забележим, че на 3 април 2016 г. Венера се е наблюдавала „от другата страна“ на Слънцето, в сравнение с 3 април 2012 г. Това означава, че през 2016 г. на тази дата тяе била западно от Слънцето и е имала измерената елонгация 16⁰. Следователно Венера е била или в съзвездието, в което се е наблюдавало Слънцето на тази дата, или в предходното, в което Слънцето е било. На 3 април Слънцето се намира в съзвездието Риби. Заключаваме, Венера е била или в Риби, или във Водолей.

Коментар. Действителното съзвездие е Риби, но от учениците не се очаква да знаят точните дати, когато Слънцето пресича границите между съзвездията. Затова на този въпрос се приема и отговор Водолей.

Понеже Венера се движи с по-голяма ъглова скорост от Земята, то следващата основна конфигурация след 3 април 2016 г. е тази, при която Слънцето ще бъде на правата, свързваща двете планети, но между тях, т.е. горно съединение.

Коментар. Горното съединение е настъпило на 6 юни 2016 г.

В) Нека първо да изчислим орбиталните скорости на Венера и Земята, съответно $V_V$ и $V_E$. За тази цел използваме формулите

Числените стойности са $V_V \approx 35{,}1\ \mathrm{km/s}$ и $V_E \approx 29{,}8\ \mathrm{km/s}$.

За да намерим търсените лъчеви скорости на Венера относно Земята, изпълняваме следните стъпки за всяка една от датите:

• Построяваме насочени отсечки, с начало Земята и Венера, които са допирателни към двете орбити, в точките, в които планетите се намират. Избираме дължините на отсечките такива, че да са пропорционални на големините на орбиталните скорости. Подходящ мащаб е $1\ \mathrm{cm} = 10\ \mathrm{km/s}$. В този мащаб отсечката, изобразяваща земната скорост, има дължина приблизително 3 cm, а отсечката, представяща скоростта на Венера – приблизително 3,5 cm.
• Построяваме отсечка, която свързва Земята и Венера за всяка една от двете дати (представляваща лъча на зрение). Това би следвало да е направено още в предишното подусловие.
• Проектираме, скоростите на Венера и на Земята върху тази отсечка.
• Измерваме дължините на двете проекции в сантиметри и чрез използвания мащаб ги превръщаме в km/s. За дата 3 април 2012 г. цялата орбитална скорост на Венера е насочена към Земята, но проекцията на земната скорост по правата АВ е приблизително 21 km/s. За 3 април 2016 г., проекцията на земната скорост върху АС е 9 km/s, а на венерианската е 14 km/s.
• Изчисляваме лъчевата скорост на Венера, съобразявайки, че когато проекциите за двете планета са в една посока, следва те да бъдат извадени.

Като използваме този метод, получаваме следните стойности:

За 3 април 2012 г. – –14 km/s (знакът минус показва, че Венера се приближава към Земята)

За 3 април 2016 г. – +5 km/s (знакът плюс показва, че Венера се отдалечава от Земята).

Коментар. Стъпките, които са описани по-горе, могат да бъдат изпълнени и на отделен чертеж, а не върху орбитите на Венера и Земята.

Г) Нека първо да пресметнем синодичния период $T_{\mathrm{SYN}}$ на Венера относно Земята. Понеже двете планети се движат около Слънцето в една и съща посока, то:

Следователно

Това е интервалът между два последователни момента от време, в които Венера е в една и съща конфигурация, относно Земята.

От друга страна, интервалът от време между датите 3 април 2012 г. и 3 април 2020 г. е 2 922 d.

Лесно може да се забележи, че:

Това означава, че за този времеви интервал са изминали практически точно 5 синодични периода на Венера, т.е. на 3 април 2020 г. тя отново е била в максимална източна елонгация спрямо Земята. Но, тъй като и на двете дати Слънцето се е наблюдавало на едно и също място по еклиптиката, то видимото положение на Венера също е било приблизително едно и също.

Това подусловие може да се реши и без да се пресмята стойността на синодичния период на Венера. Достатъчно е да се съобрази, че орбиталните периоди на Земята и на Венера се отнасят практически точно както числата 8 и 13 (с точност около 0,2%). Следователно за 8 години (колкото е интервалът от време между 3 април 2012 г. и 3 април 2020 г.) Венера е извършила почти точно 13 пълни обиколки около Слънцето. Оттук следва, че на тези две дати двете планети са в едни и същи точки по своите орбити, т.е. гледано от Земята, Венера се е проектирала на едно и също място на фона на звездите.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) За правилни разсъждения относно положението на Слънцето по еклиптиката за дата 3 април – 1 т.
За съобразяване, че Венера се е наблюдавала на изток от Слънцето – 0,5 т.
За правилен извод, че Венера е била Вечерница – 0,5 т.
Б) За намиране на орбиталния период на Венера – 0,5 т.
За правилен и прецизно изпълнен геометричен метод, по който се определя положението на Венера по нейната орбита и видимото ъглово отстояние от Слънцето за дата 3 април 2016 г.; за правилен резултат (+/- 2⁰) – 2,5 т.
За съобразяване на съзвездието, в което Венера се е наблюдавала на 3 април 2016 г. – 0,5 т.
За съобразяване на предстоящата основна конфигурация – 0,5 т.
В) За изчисляване на орбиталните скорости на Венера и Земята – 1 т.
За правилен и прецизно изпълнен геометричен метод, чрез който се намират лъчевите скорости на Венера относно Земята за двете дати; за правилни резултати (+/- 3 km/s) – 2 т.
Г) За намиране синодичния период на Венера – 1 т.
За съобразяване на това, че този синодичен период се нанася точно 5 пъти в интервала от време 8 години – 1 т.
За съобразяване, че поради тази кратност на 3 април 2020 г. Венера се е наблюдавала на същото място на фона на звездите, както на 3 април 2012 г. – 1 т.

Забележка. Максимален брой точки следва да се присъдят, ако подусловието е решено по друг начин, стига този начин да е правилен и доказателството да е напълно аргументирано.