Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. Поглед от Европа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг на олимпиадата по астрономия · Димитровград, 10 май 2025 г. · Възрастова група VII-VIII клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 13 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Радиус на орбитата на Земята $r_E = 1\ \mathrm{au} = 149{,}6 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$

Радиус на орбитата на Венера $r_V = 0{,}723\ \mathrm{au}$

Орбитален период на Земята $T_E = 365{,}25\ \mathrm{d}$

Период на околоосно въртене на Юпитер $P = 9{,}925\ \mathrm{h}$ (часа)

Орбитален период на Европа $T = 3{,}551\ \mathrm{d}$

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Вие работите в астробиологическа станция на спътника на Юпитер Европа и сондирате неговата ледена покривка, за да изследвате намиращия се под нея океан от течна вода с цел да проверите дали там има поне някакви примитивни форми на живот. В свободното си време съзерцавате огромния Юпитер и неговото величествено въртене около оста.

А) Пресметнете видимия от Европа период на околоосно въртене на Юпитер. Колко такива периода се съдържат в едно денонощие за Европа? (Орбиталното движение на Юпитер около Слънцето е твърде бавно и не е необходимо да го отчитате). [3 т.]

Приемете, че орбитата на Европа около Юпитер лежи в равнината на орбитата на Юпитер около Слънцето и че осите на въртене на Юпитер и Европа са перпендикулярни на същата тази равнина. Орбитата на Европа е кръгова. Европа е приливно заключена и е винаги обърната към Юпитер с една и съща своя страна. Вашата станция се намира съвсем недалеч на север от центъра на тази страна на спътника, която е обърната към Юпитер.

На Фигура 3 са ви дадени четири схеми. На всяка от тях са изобразени Юпитер и орбитите на спътниците Йо, Европа и Ганимед (мащабите не са спазени). С кръгче е отбелязано едно положение на Европа по нейната орбита. Със стрелка е показана посоката на орбитално движение на спътниците. Към вас са обърнати северните полюси на обектите.

Четири еднакви схеми, номерирани 1, 2, 3 и 4: Юпитер в центъра и три концентрични кръгови орбити – на Йо (вътрешна, означена „орбита на Йо“), на Европа (средна) и на Ганимед (външна, означена „орбита на Ганимед“); с малко кръгче е отбелязано положение на Европа долу на средната орбита; под всяка схема стрелка показва посоката на орбитално движение (обратно на часовниковата стрелка). Отдолу три фази A (пълен бял диск), B (лява половина черна, дясна бяла) и C (лява половина бяла, дясна черна). — Фигура 3. Орбити на Йо, Европа и Ганимед. При фазите на спътниците A, B и C в черно е означена неосветената (тъмната) страна, а в бяло осветената страна (към Задача 3).

Б) На схемите последователно означете със стрелки посоката, от която идват слънчевите лъчи, когато за вашата станция е полунощ (схема 1), начало на деня (схема 2), пладне (схема 3) и начало на нощта (схема 4). [2 т.]

В) Какво явление ще наблюдавате, когато за вас настъпва пладне? А какво ще виждате, наблюдавайки Юпитер, когато за вас настъпва полунощ? [4 т.]

Г) Оттук нататък допускаме, че вие можете да се разхождате по цялото северно полукълбо на Европа. Времената от денонощието за мястото на станцията обаче се запазват, каквито са в предните подусловия. На всяка от схемите нанесете положенията на Йо и Ганимед, при които вие бихте могли да ги видите във фазите A, B и C, там, където това е възможно. Отбележете нанесените от вас положения с латинските букви, с които са означени съответните фази. [4 т.]

Изображение със заглавие „Галилееви спътници на Юпитер“: четирите спътника Йо, Европа, Ганимед и Калисто, показани един до друг в относителни размери, с подписи под всеки. — Фигура 2. Размери на Галилеевите спътници.

Решение

Решение:

А) Тъй като Европа е приливно заключена, нейният орбитален период $T_E$ на движение около Юпитер е равен на периода ѝ на околоосно въртене. Този период приблизително се равнява на продължителността на денонощието за наблюдател на Европа. Понеже Юпитер се движи много по-бавно около Слънцето в сравнение с околоосното въртене на Европа, ние пренебрягаме разликата между звездното и слънчевото денонощие на Европа. Означаваме с $P$ периода на околоосно въртене на Юпитер. Видимият период $P'$ на въртене на Юпитер около своята ос за наблюдател на Европа ще бъде по-дълъг от $P$ , тъй като Европа се движи около Юпитер в същата посока, в която става и въртенето на планетата. Можем да определим $P'$ от формулата:

\frac{1}{P'} = \frac{1}{P} - \frac{1}{T_E},

P' = \frac{T_E P}{T_E - P} \approx \mathbf{11{,}233\ часа}.

Броят на завъртанията на Юпитер, които ще види наблюдателят на Европа в рамките на едно денонощие на този спътник, ще бъде:

N = \frac{T_E}{P'} \approx \mathbf{7{,}6}.

Б) На фигурата по-долу положението на изследователската станция на Европа е означено с малък черен триъгълник. Със стрелки е показана посоката, от която идват слънчевите лъчи за четирите момента от денонощието на Европа и положенията на Йо и Ганимед, при които наблюдател от Европа би ги виждал в съответните фази.

В) Всеки път около пладне за наблюдателя в научната станция Юпитер ще закрива Слънцето – ще настъпва слънчево затъмнение (Схема 3). Около полунощ (Схема 1) наблюдателят ще вижда високо в небето ярко осветения Юпитер в пълна фаза. По видимия диск на Юпитер ще се вижда сянката на Европа, понякога ще преминават сенките на Йо, Ганимед и Калисто, а също самият спътник Йо понякога ще преминава пред Юпитер.

Г) Към нас са обърнати северните полюси на обектите и наблюдателят е в северното полукълбо на Европа. Поради това, за да вижда спътниците, намиращи се в екваториалната равнина на Европа, наблюдателят трябва да е обърнат, така да се каже, с гръб към нас на дадените схеми.

Схема 1. Наблюдателят ще вижда Ганимед в положение B като светъл полукръг, изпъкнал надясно от негова гледна точка, което съответства на фазата B. Ганимед в положение C ще се вижда като светъл полукръг, изпъкнал наляво и това съответства на фазата C. За да бъде в пълната фаза A, Ганимед трябва да се намира в посока противоположна на посоката към Слънцето. В това положение обаче, за наблюдател на Европа той ще се окаже напълно закрит зад огромния Юпитер и няма да се вижда, да не говорим, освен всичко друго и че ще е в сянката на Юпитер. В никоя точка от своята орбита Йо няма да може да се вижда от Европа във фазите B и C. Би могъл да е видим в пълната фаза A, макар че тогава върху него ще пада сянката на самата Европа. Сянката няма да покрива целия спътник, понеже Йо е по-голям от Европа.

Схема 2. В никоя точка от орбитата на Йо наблюдателят от Европа няма да го вижда във фазите A и B, единствено ще може да се вижда във фазата C, в показаното положение. Спътникът Ганимед ще може да се вижда във фаза B, но не и във фаза C. Би могъл да се наблюдава и във фаза A, обаче тогава върху него ще попада сянката на Европа. Тя няма да го затъмнява напълно, защото Ганимед е най-големият спътник, а Европа е най-малкият от Галилеевите спътници.

Схема 3. В никоя точка от орбитата си Йо няма да може да се наблюдава във фазите A, B и C. Ганимед ще може да се види във фазите B и C, както е показано на схемата. Би могъл да е и във фаза A, но тогава ще е затъмнен от сянката на Юпитер.

Схема 4. Йо ще може да се види във фаза B, а Ганимед – във фаза C. Спътникът Ганимед може да е и във фаза A, но и тогава ще е затъмнен, макар и частично от сянката на Европа.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За определяне на наблюдавания от Европа период на въртене на Юпитер – 3 т.

Б) За отбелязване на посоката, от която идват слънчевите лъчи – 4 × 0,5 = 2 т.

В) За описване и обяснение на явленията, които ще се наблюдават от станцията в полунощ и по пладне – 2 × 2 = 4 т.

Г) За нанасяне на положенията на спътниците в различните фази и кратко обяснение – 4 т.

Четири схеми (1 Полунощ, 2 Начало на деня -сутрин, 3 Пладне, 4 Начало на нощта - вечер) с Юпитер и орбитите на Йо, Европа и Ганимед; станцията на Европа е малък черен триъгълник, стрелки показват посоката на слънчевите лъчи, а положенията на Йо и Ганимед са означени с букви A, B, C според фазите. Отдолу легенда на фазите A, B и C. — Фигура А3. Положения на Йо и Ганимед спрямо Европа.

Оригинал в Архива: 25-III-78.pdf · официални решения: a25-III-78.pdf