Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4. Разходка до червените гиганти

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг на олимпиадата по астрономия · Димитровград, 10 май 2025 г. · Възрастова група VII-VIII клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 12 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Радиус на орбитата на Земята $r_E = 1\ \mathrm{au} = 149{,}6 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$

Радиус на орбитата на Венера $r_V = 0{,}723\ \mathrm{au}$

Орбитален период на Земята $T_E = 365{,}25\ \mathrm{d}$

Период на околоосно въртене на Юпитер $P = 9{,}925\ \mathrm{h}$ (часа)

Орбитален период на Европа $T = 3{,}551\ \mathrm{d}$

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Шеат (β Peg) и Мирах (β And) са две ярки звезди, червени гиганти. Те се наблюдават много добре на есенното небе и са на едно и също разстояние от Слънцето – почти точно 200 светлинни години. Всяка от двете звезди има мощност на излъчването (светимост) около 1600 пъти по-голяма от тази на Слънцето. На Фигура 4 е дадена звездна карта с координатна мрежа, на която са обозначени положенията на двете звезди.

Звездна карта (завъртяна на 90° на страницата) на областта Андромеда, Пегас, Касиопея, Персей, Триъгълник, Овен и Риби с координатна мрежа: ректасцензии от 21h до 4h и деклинации от 20° до 40° (скала на деклинациите отляво и отдясно). Отбелязани са с големи надписи звездите „Шеат“ (Scheat) в Пегас и „Мирах“ (Mirach) в Андромеда, галактиката M31, M33 и множество други обекти и звезди с имена. — Фигура 4. Звездна карта (към Задача 4).

А) На колко градуса по небето една от друга са Шеат и Мирах? Направете необходимите измервания по картата, за да отговорите. Използвайте разстоянието между паралелите за мащабиране на сантиметри в градуси. От лявата и дясната страна на картата има скала на деклинациите. [2 т.]

Нека да се разходим мислено до Мирах. От околностите на Мирах звездното небе ще изглежда за нас по доста различен начин.

Б) Ако сме близо до Мирах, на колко градуса по звездното небе ще виждаме Слънцето спрямо Шеат? [2 т.]

В) Мирах, за наблюдател от Земята, има звездна величина 2,1. Каква ще бъде звездната величина на Слънцето, гледано от Мирах? Отговорете с точност 0,5 звездни величини. [3 т.]

Указание: Когато един обект има звездна величина с единица по-голяма от звездната величина на друг обект, то блясъкът на първия обект е около 2,5 пъти по-слаб от блясъка на втория. Например звезда със звездна величина 4,7 е 2,5 пъти по-слаба от звезда със звездна величина 3,7.

Г) Сега искаме да изминем разстоянието от Мирах до Шеат. Мисълта ни го изминава веднага. Приблизително за колко години го изминава светлината? [2 т.]

На звездната карта виждате и галактиката M31 (Андромеда), която е много по-далеч – на 2,5 милиона светлинни години от нас. Нека да се преместим мислено там и да обърнем поглед към нашата галактика – Млечния път. С голям телескоп ще можем да видим Мирах и Шеат като две слаби червени звездички и Слънцето като още по-слаба жълта звездичка.

Д) На колко дъгови секунди една от друга ще бъдат Мирах и Слънцето, ако от галактиката M31 виждаме светлината, излъчена от тях в наши дни? Една дъгова секунда е 1/3600 част от градуса (т.е. $1^{\circ} = 3600''$ ). [3 т.]

Решение

А) Използваме разстоянието между 20-тия и 40-тия небесен паралел по картата, за да мащабираме изображението. Ако това разстояние е $x$ милиметра, а разстоянието между Шеат и Мирах е $y$ милиметра, то с измерване получаваме $y/x = 1{,}39$ . Тъй като измереното по картата разстояние $x$ съответства на ъглово разстояние $20^{\circ}$ , разстоянието $y$ съответства на ъгловото разстояние между Шеат и Мирах по небето и то е $1{,}39 \cdot 20^{\circ} = \mathbf{27{,}8^{\circ}}$ .

Коментар. Истинското ъглово разстояние (27,65°) е много близо до измереното.

Б) Видимото ъглово разстояние Слънце-Шеат по звездното небе за Мирах всъщност е ъгълът Слънце-Мирах-Шеат (ъгъл M). За да го намерим, построяваме триъгълника Слънце-Шеат-Мирах (OSM), който е равнобедрен, тъй като разстоянията до двете звезди са равни. Ъгълът при върха в Слънцето е резултатът от подусловие А), $\angle O = 27{,}8^{\circ}$ . За равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни и оттук следва

\angle M = \frac{180^{\circ} - \angle O}{2} = \mathbf{76{,}1^{\circ}}.

В) Наблюденията на Мирах от Слънцето и на Слънцето от Мирах се провеждат от едно и също разстояние и при едно и също междузвездно поглъщане. Разликата е в светимостта на източника – светимостта на Мирах е 1600 пъти по-голяма от тази на Слънцето, следователно и наблюдаваният лъчист поток ще е 1600 пъти по-висок. По упътването, търсим на коя степен трябва да повдигнем 2,5, за да получим резултат най-близък до 1600. Намираме, че $2{,}5^8 = 1525$ , което е много близо до 1600. Следователно разликата при двете наблюдения е около 8 звездни величини. Звездната величина на Слънцето, гледано от Мирах, ще бъде около $(2{,}1 + 8) = \mathbf{10{,}1}$ .

Коментар. Това решение дава точност в случая около 0,05 звездни величини. За верни да се приемат резултатите между 9,6 и 10,6. В действителност, основата в закона на Погсън е 2,512 и $2{,}512^8 = 1585$ , което е още по-близо до 1600.

Г) Начин I: Трябва да построим графично равнобедрения триъгълник OSM от подусловие Б), използвайки транспортир за ъгъл $\angle O = 27{,}8^{\circ}$ . След това можем да измерим с линия и да определим отношението на страните SM и OM, което се оказва SM/OM = 0,48. Оттук определяме, че разстоянието между Шеат и Мирах в космическото пространство е $0{,}48 \cdot 200\ \mathrm{ly} = 96$ светлинни години. То се изминава от светлината приблизително за време 96 години.

Има и две възможни тригонометрични решения.

Начин II. Ако построим в триъгълника височината OH, тя се явява и ъглополовяща. Оттук намираме:

SM = OM \cdot 2\sin\left(\frac{\angle O}{2}\right) = (200\ \mathrm{ly}) \cdot 2\sin\left(\frac{27{,}8^{\circ}}{2}\right) = 96\ \mathrm{ly}

Начин III. Друго възможно решение е чрез косинусовата теорема, съгласно която:

SM = \sqrt{OM^2 + SM^2 - 2\cdot OM\cdot SM\cos\angle O} = \sqrt{2(200\ \mathrm{ly})^2(1 - \cos 27{,}8^{\circ})} = 96\ \mathrm{ly}

Д) По даденото изображение измерваме разстоянието $z$ от Мирах до галактиката Андромеда (M31). Получаваме $z/x = 0{,}39$ , откъдето ъгловото разстояние от Мирах до M31 е $\delta_1 = 0{,}39 \cdot 20^{\circ} = 7{,}8^{\circ}$ . Това е ъгълът MOH на чертежа. Можем да намерим разстоянието MH от Мирах до проекцията на Мирах върху лъча Слънце-M31 с формулата за ъглов размер

\delta_1 = \frac{MH}{OM}.

Ъгловото разстояние от Слънцето до Мирах, гледано от M31, ще бъде

\delta_2 = \frac{MH}{r_{M31}}.

Чертеж: точка O (Слънце) вляво, от нея лъч надясно към M31 през точка H; под H е точка M (Мирах), свързана с O и с H; от M също излиза лъч надясно към M31. — Фигура А4. Лъчи от Слънцето и Мирах в посока M31

От двете уравнения получаваме

\delta_2 = \delta_1 \frac{OM}{r_{M31}} = 7{,}8^{\circ}\,\frac{200}{2{,}5\cdot 10^6} = 0.000624^{\circ} = \mathbf{2{,}2''}.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) Общо – 2 т.

Б) Общо – 2 т.

В) Общо – 3 т.

Г) Общо – 2 т.

Г) Общо – 3 т.

Оригинал в Архива: 25-III-78.pdf · официални решения: a25-III-78.pdf