Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Марсианските канали

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг на олимпиадата по астрономия · Димитровград, 10 май 2025 г. · Възрастова група IX-X клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 12 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Гравитационна константа $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$

Астрономическа единица $1\ \mathrm{au} = 149\,597\,870\,700\ \mathrm{m}$

Величина	Означение	Стойност
Слънце
Радиус	$R_{\odot}$	696000 km
Земя
Маса	$M_E$	5,97.10²⁴ kg
Радиус	$R_E$	6371 km
Луна
Радиус	$R_L$	1737,4 km
Марс
Маса	$M_M$	6,42.10²³ kg
Радиус	$R_M$	3390 km
Голяма полуос на орбитата	$a_M$	227,9.10⁶ km
Ексцентрицитет на орбитата	$e_M$	0,0934
Юпитер
Маса	$M_J$	1,90.10²⁷ kg
Радиус	$R_J$	69900 km
Период на въртене около оста	$\tau_J$	9 h 55 min
Радиус на орбитата	$r_J$	5,20 au
Ганимед
Радиус	$R_G$	2634 km
Радиус на орбитата	$r_G$	1070000 km
Япет
Радиус	$R_I$	734 km

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Пърсивал Лоуел е бил американски бизнесмен, математик и астроном, вдъхновен от идеята за съществуването на т.нар. марсиански канали. Сега е известно, че те са зрителна илюзия, но по онова време той и доста негови съвременници сериозно са ги смятали за реално творение на разумна цивилизация. На 27 август 1911 г. американското списание New York Times Sunday Magazine публикува статия за наблюденията на Пърсивал Лоуел, които според него свидетелстват за невероятните строителни умения на марсианците (Фигура 1). Статията е озаглавена „Марсианците изграждат два огромни канала за две години“.

Сканирана страница от New York Times Sunday Magazine (1911) със заглавие „MARTIANS BUILD TWO IMMENSE CANALS IN TWO YEARS“, два кръгли чертежа на Марс с канали, портрет на Пърсивал Лоуел и снимка на големия телескоп в обсерваторията Лоуел. — Фигура 1. Статия за марсианските канали.

Ето цитат от нея: „Канали с дължина хиляда мили и ширина двадесет мили са просто отвъд нашето въображение. Въпреки че сме наясно с факта, че скален отломък, който тук тежи сто паунда, там би тежал само .......... паунда, като в резултат на това инженерните операции там са по-малко трудни, отколкото тук, все пак едва ли можем да си представим как жителите на Марс могат да са способни да изпълнят тази херкулесова задача в рамките на краткия интервал от две години.“

А) Пресметнете числото, което е пропуснато и заменено в горния текст с многоточие. Колко паунда би тежал скалният отломък на Марс? [3 т.]

Б) Телескоп с какво увеличение би бил нужен на Пърсивал Лоуел, за да различи новопостроените марсиански канали при най-благоприятни условия за наблюдение на планетата? Разделителната способност на човешкото око е около 2 дъгови минути. Една миля се равнява на 1,609 километра. [4 т.]

В) В действителност Лоуел е наблюдавал с телескоп с диаметър на обектива 61 сантиметра в основаната от него обсерватория във Флагстаф, щата Аризона. Дори да се използва окуляр, който теоретично да дава произволно голямо увеличение, дифракцията на светлината, преминаваща през обектива, поставя ограничение на разделителната способност на телескопа. В резултат на дифракцията минималният ъглов размер на обектите, които могат да бъдат различени с него при наблюдение във видима светлина, може да се пресметне в дъгови секунди чрез формулата $\delta = \frac{14}{D}$ , където $D$ е диаметърът на обектива на телескопа в сантиметри. Каква е минималната ширина на марсианските канали, при която те биха могли наистина да се различат с телескопа на Пърсивал Лоуел чрез подходящо увеличение при най-благоприятни условия за наблюдение на Марс? [3 т.]

Г) Какъв друг фактор реално влошава разделителната способност на телескопите при наблюдение от земната повърхност? [2 т.]

Решение

Решение.

А) Ще използваме означенията от справочните данни. Силите на гравитационно привличане, които биха действали на скалния отломък на Земята и на Марс, са съответно

F_{gE} = \frac{GM_E m}{R_E^2}, \qquad F_{gM} = \frac{GM_M m}{R_M^2},

където $m$ е масата на отломъка, а $G$ е гравитационната константа. Отношението на тези сили ще бъде

\frac{F_{gM}}{F_{gE}} = \frac{M_M}{M_E}\cdot\frac{R_E^{\,2}}{R_M^{\,2}} \approx 0{,}38.

Следователно, ако на Земята скалният отломък тежи 100 паунда, то на Марс той би тежал около 38 паунда. Именно това число е било написано в статията.

Б) Най-благоприятни условия за наблюдения на Марс може да има, когато той е максимално близо до Земята. За целта Марс трябва да е във велико противостояние, т.е. едновременно да е и в противостояние, и в перихелий. За разстоянието от Слънцето до Марс в перихелий можем да напишем

r_p = a_M(1 - e_M),

където $a$ е голямата полуос на марсианската орбита, а $e$ е ексцентрицитетът.

r_p \approx 206{,}6.\,10^6\ \mathrm{km}.

По-нататък намираме минималното разстояние между Земята и Марс при велико противостояние:

r = r_p - r_E,

r = 57.\,10^6\ \mathrm{km}

Ширината на марсианските канали в километри ще бъде:

d = 20\ \mathrm{mi}\cdot 1{,}609\ \mathrm{km} = 32{,}18\ \mathrm{km}.

Оттук намираме видимата от Земята ъглова ширина на каналите в дъгови секунди:

\delta_0 = \frac{d}{r}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}\cdot(60'/^{\circ})\cdot(60''/') \approx 0{,}116''.

Най-малките детайли, които човешкото око може да различи, имат ъглови размери $2'\cdot 60'' = 120''$ . Следователно минималното увеличение на телескопа, при което могат да се различат марсианските канали, ще бъде

W = \frac{120''}{\delta_0} \approx \mathbf{1035}\ \text{пъти}.

В) Поради дифракцията минималният видим ъглов размер на обектите, които могат да се различат с телескопа на Пърсивал Лоуел, ще бъде

\delta = \frac{14}{D} \approx 0{,}230''.

Това означава, че минималната ширина на каналите в километри, които могат да се различат с този телескоп, би била:

d_1 = d\cdot\frac{\delta}{\delta_0} \approx \mathbf{63{,}8\ km}.

Г) При наблюдения от земната повърхност значително влияние върху разделителната способност има атмосферата на нашата планета. Поради наличието на движещи се въздушни нееднородности с различна плътност и температура, а оттам и с различен показател на пречупване на светлината, качеството на получените изображения на космическите обекти се влошава. Този проблем се решава чрез извеждане на телескопите в космическото пространство или чрез използване на системи за адаптивна оптика.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За пресмятане на теглото на скалния отломък на Марс в паундове – 3 т.

Б) За определяне на видимата ъглова ширина на марсианските канали – 3 т.
За намиране на увеличението на телескопа – 1 т.

В) За определяне на разделителната способност на телескопа на Лоуел – 1 т.
За пресмятане на минималната ширина на каналите – 2 т.

Г) За посочване на фактора, който влошава разделителната способност на телескопите, и кратко обяснение – 2 т.

Оригинал в Архива: 25-III-910.pdf · официални решения: a25-III-910.pdf