Съдържание

НОА 2025, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Затъмнения на Юпитер

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг на олимпиадата по астрономия · Димитровград, 10 май 2025 г. · Възрастова група IX-X клас, първи тур · 10 май 2025 г. · 13 т.

Бележка

Справочни данни (по всички задачи):

Гравитационна константа $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$

Астрономическа единица $1\ \mathrm{au} = 149\,597\,870\,700\ \mathrm{m}$

Величина	Означение	Стойност
Слънце
Радиус	$R_{\odot}$	696000 km
Земя
Маса	$M_E$	5,97.10²⁴ kg
Радиус	$R_E$	6371 km
Луна
Радиус	$R_L$	1737,4 km
Марс
Маса	$M_M$	6,42.10²³ kg
Радиус	$R_M$	3390 km
Голяма полуос на орбитата	$a_M$	227,9.10⁶ km
Ексцентрицитет на орбитата	$e_M$	0,0934
Юпитер
Маса	$M_J$	1,90.10²⁷ kg
Радиус	$R_J$	69900 km
Период на въртене около оста	$\tau_J$	9 h 55 min
Радиус на орбитата	$r_J$	5,20 au
Ганимед
Радиус	$R_G$	2634 km
Радиус на орбитата	$r_G$	1070000 km
Япет
Радиус	$R_I$	734 km

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Бележка

Предайте този лист заедно с решенията си!

Условие

Галилеевите спътници обикалят около Юпитер по кръгови орбити в същата посока, в която Юпитер се върти около оста си. Орбитите лежат точно в равнината на екватора на планетата. В справочните данни имате информация за Юпитер и спътника Ганимед.

А) Какъв вид слънчево затъмнение от Ганимед можем да наблюдаваме от екватора на Юпитер – пълно или пръстеновидно? [3 т.]

Б) Колко време продължава максималната му фаза, ако затъмнението е централно и Слънцето е в зенита? В случай, че е пълно, това е времето, в което Слънцето е изцяло закрито, а ако е пръстеновидно, това е времето, през което дискът на Ганимед е изцяло в диска на Слънцето. [6,5 т.]

В) Какъв би бил отговорът, ако Юпитер правеше пълно завъртане около оста си за двойно по-дълго време? [3,5 т.]

Решение

Решение.

А) За да определим дали се наблюдава пълно или пръстеновидно слънчево затъмнение, трябва да сравним видимите ъглови размери на Слънцето и на Ганимед за наблюдател, разположен на екватора на Юпитер, за когото те се виждат в зенита. Видимият ъглов диаметър на Слънцето е

\delta_S = \frac{2R_S}{r_J} \approx 369''.

Тъй като Ганимед се намира в зенита, разстоянието от спътника до наблюдателя е

r = r_G - R_J \approx 1\,000\,000\ \mathrm{km}.

Оттук намираме, че видимият ъглов диаметър на Ганимед е

\delta_G = \frac{2R_G}{r} \approx 1086''.

Видно е, че Ганимед има по-голям видим ъглов размер. Това означава, че ще се наблюдава пълно слънчево затъмнение.

Б) Съгласно III закон на Кеплер, ако радиусът на орбитата на Юпитер $r_J$ е изразен в au, а $P_J$ е орбиталният период на Юпитер, изразен в години, то

\frac{r_J^3}{P_J^2} = 1.

Оттук намираме $P_J = 11{,}86\ \mathrm{yr}$ . Скоростта, с която Юпитер се движи по орбитата си, е

v = \frac{2\pi R_J}{P_J} = 13{,}1\ \mathrm{km/s}.

А скоростта, с която се движи точка от екватора на Юпитер, е

v_J = \frac{2\pi R_J}{\tau_J} \approx 12{,}3\ \mathrm{km/s}.

Тогава ъгловата скорост, с която Слънцето се движи на фона на звездите за наблюдател на Юпитер, е

\omega_S = \frac{v - v_J}{r_J} = 2.\,10^{-4}\,{}''/\mathrm{s}.

Тук извадихме двете линейни скорости, защото затъмнението се наблюдава в момент на местно пладне.

Нека да пресметнем и видимата ъглова скорост на Ганимед $\omega_G$ за юпитерианския наблюдател. Спътникът се движи по кръгова орбита. Следователно големината на неговата орбитална скорост е

v_G = \sqrt{\frac{GM_J}{r_G}} = 10{,}9\ \mathrm{km/s}.

И за ъгловата скорост $\omega_G$ можем да запишем

\omega_G = \frac{v_J - v_G}{r_G - R_J} = 0{,}293''/\mathrm{s}.

Понеже линейната скорост на наблюдателя е по-голяма, видимото движение на Ганимед става в посока, обратна на орбиталното му движение. Така получихме, че Слънцето и Ганимед се движат по небето в противоположни посоки за този наблюдател. Относителната ъглова скорост на Ганимед, спрямо Слънцето тогава е

\Delta\omega = \omega_S + \omega_G.

Продължителността на пълната фаза на затъмнението е

\Delta t = \frac{\delta_G - \delta_S}{\Delta\omega} = \mathbf{2450\ s}.

В) Ако Юпитер се върти около оста си за двойно по-дълго време, то големината на линейната скорост на точка от екватора му би била

v_J' = \frac{v_J}{2} = \frac{\pi R_J}{\tau_J} = 6{,}15\ \mathrm{km/s}.

Видимата ъглова скорост на Ганимед в този случай е

\omega_G' = \frac{v_G - v_J'}{r_G - R_J} = 0{,}98''/\mathrm{s}.

В този случай Ганимед се движи по-бързо по-своята орбита, отколкото наблюдателя на екватора на Юпитер. По тази причина неговото видимо денонощно движение би било в „права“ посока.

Относителната видима ъглова скорост на Ганимед спрямо Слънцето съответно е

\Delta\omega' = \omega_G - \omega_S.

Продължителността на пълната фаза на слънчевото затъмнение става

\Delta t' = \frac{\delta_G - \delta_S}{\Delta\omega'} \approx \mathbf{735\ s}.

Коментар. В Б) и В) приехме, че Слънцето и Ганимед се намират в зенита за наблюдателя по време на цялата пълна фаза на затъмнението.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За правилно изразяване на видимия ъглов размер на Слънцето и верен числен резултат – 1 т.
За правилно изразяване на видимия ъглов размер на Ганимед и верен числен резултат – 1,5 т. (ако радиусът на Юпитер не е изваден от $r_G$ – 1 т.)
За извод относно вида на наблюдаваното затъмнение – 0,5 т.

Б) За намиране на орбиталния период на Юпитер – 0,5 т.
За изчисляване на скоростта на точка от екватора на Юпитер – 0,5 т.
За изразяване на видимата ъглова скорост на Слънцето и верен числен резултат – 1,5 т. (ако не бъде отчетена скоростта на точка от екватора на Юпитер – 1 т.)
За изчисляване на скоростта на орбитално движение на Ганимед – 0,5 т.
За правилно изразяване на видимата ъглова скорост на Ганимед и верен числен резултат – 1,5 т.
За съобразяване на това, че Ганимед и Слънцето се движат в противоположни посоки по небето – 0,5 т.
За правилен израз за продължителността на пълната фаза и верен числен резултат – 1,5 т.

В) За намиране на новата скорост на движение по екватора на Юпитер – 0,5 т.
За изразяване на видимата ъглова скорост на Ганимед в този случай и верен числен резултат – 1 т.
За съобразяване на посоката на взаимното видимо движение на Юпитер и Слънцето – 0,5 т.
За изразяване на продължителността на пълната фаза и верен числен резултат – 1,5 т.

Оригинал в Архива: 25-III-910.pdf · официални решения: a25-III-910.pdf