НОА 2025, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Луната и кометата

Решение.

А) Хоризонталните размери не се повлияват от рефракцията. Затова, когато чертаем Луната, неповлияна от рефракцията, трябва да приемем за ъглов диаметър на Луната нейният видим хоризонтален размер от снимката. Знаем разстоянието до Луната в момента на заснемането ѝ, както и физическите ѝ размери. Оттам може да получим видимия ѝ ъглов диаметър $\delta_L$. Понеже наблюдаваме Луната на хоризонта, то разстоянието до нея за наблюдателя е практически равно на разстоянието от центъра на Земята, т.е. 399285 километра. Тогава

Същият резултат се получава и ако от отношението на радиуса и разстоянието получим ъгловия радиус на Луната в радиани и оттам – ъгловия диаметър в дъгови минути.

Измерваме на увеличеното изображение хоризонталния размер на Луната. Получаваме, че той е $D_L = 31\ \mathrm{mm}$. Следователно мащабът $k_1$ на изображението е

Хоризонтът не е очертан много добре, но ако приемем, че той лежи в горната част на размитата зона, ще получим, че хоризонтът се намира на около $r_1 = 37{,}5\ \mathrm{mm}$ от горния ръб на диска на Луната. Да пресметнем това разстояние в ъглови единици:

Следователно ако премахнем влиянието на рефракцията, горният край на диска на Луната ще се окаже практически на хоризонта. Построяваме вертикална линия от горния ръб на Луната, като я продължаваме и под хоризонта. Центърът на лунния диск, който е неповлиян от рефракцията, ще се намира на разстояние $D_L/2 = 15{,}5\ \mathrm{mm}$ под хоризонта. Луната ще се изобразява като кръг със същия радиус. Построяваме с пергел диска на Луната, както би се виждал без влиянието на рефракцията (Фигура А1).

Б) Очевидно рефракцията на горния ръб на видимия лунен диск е равна на 36′. За да определим рефракцията на долния ръб на лунния диск, измерваме разстоянието между видимото и начертаното му положение. Получаваме, че то е $r_2 = 41{,}8\ \mathrm{mm}$. Тогава рефракцията на долния край на диска на Луната е равна на

В) Рогата на сърпа на Луната са леко размазани и краищата им не се виждат. За да маркираме местата на върховете на сърпа, първо намираме центъра на лунния диск, примерно по метода на хордите. Прекарваме през видимите краища на сърпа права линия. Построяваме линия през центъра на диска, която е успоредна на вече построената линия, която минава през видимите краища на рогата. Ако приемем, че двата рога са повлияни еднакво, то те завършват там, където втората линия пресича края на диска. Маркираме тези точки с A′ и B′ и от тях спускаме вертикални линии към построения диск на Луната. Правим така, защото рефракцията действа само във вертикална посока. Всяка от линиите пресича окръжността, очертаваща диска, в две точки. По-долната точка B, от лявата страна, и по-горната A, от дясната страна, маркират върховете на сърпа на Луната (Фигура А1).

Г) Търсим ъгловото разстояние между Луната и кометата, за да определим видимия ъглов размер на опашката на кометата. Тук трябва да имаме предвид, че това разстояние е повлияно от обстоятелството, че виждаме Луната ниско на хоризонта и следователно нейното положение на небето е променено от рефракцията. Положението на кометата също се влияе от рефракцията, но в много по-малка степен, и ще пренебрегнем този ефект. Знаем как е разположена в действителност Луната относно хоризонта. Чертаем диска на Луната, така че горният му край да докосва линията на хоризонта. От центъра на начертания, коригиран за рефракцията диск на Луната измерваме разстоянието $d_{LC}$ до главата на кометата в милиметри. Получаваме, че разстоянието $d_{LC} = 159{,}5\ \mathrm{mm}$ (Фигура А2).

Ъгловият мащаб $k_2$ на това изображение по условие е 6 пъти по голям от $k_1$:

Следователно ъгловото разстояние от истинското положение на Луната до кометата е:

Толкова е и видимият ъглов размер на опашката на кометата $\delta_{CT} = \delta_{LC}$.

Виждаме, че кометата не е на еклиптиката, тоест тя е извън равнината на земната орбита. Имайки предвид, че снимката е получена от южното полукълбо на Земята и това, че еклиптиката преминава недалеч от Луната, заключаваме, че кометата е на юг от равнината на земната орбита.

Слънцето, кометата и Земята дефинират една равнина, в която лежи и опашката на кометата. (Тази равнина пресича равнината на земната орбита по линията Земя-Слънце.) Когато говорим за опашката на кометата, то очевидно имаме предвид газовата (т.е. йонната) опашка на кометата, която е насочена в противоположна посока на посоката комета-Слънце.

Нека направим чертеж на разположението на телата в тази равнина (Фигура А3). На фигурата с S е означено Слънцето, с T – Земята, с C – кометата, с CT – края на опашката на кометата, с E_C – елонгацията на кометата, т.е. ъгълът Слънце-Земя-комета (по условие той е 22°), и с – ъгловия размер на опашката на кометата.

Използваме мащаб, при който 1 милион километра се изобразяват в 1 милиметър. Разстоянието Земя-Слънце е равно на 1,002 au. Умножаваме го по стойността на астрономическата единица от справочните данни и получаваме TS = 149,897.10⁶ km. Построяваме отсечката TS с дължина 149,9 mm. Разстоянието до кометата е 0,805 au. В мащаба на чертежа това е равно на 120,4 mm. Построяваме лъч, лежащ на линията Земя-Слънце, и от него отмерваме ъгъл, равен на елонгацията на кометата. На този ъгъл построяваме лъч, лежащ на линията Земя-комета. По него отмерваме разстоянието до кометата и фиксираме точката, в която се намира кометата. От Слънцето прекарваме през кометата лъч, по протежение на който, след ядрото на кометата, е разположена йонната ѝ опашка. Измерваме разстоянието SC от Слънцето до ядрото на кометата и получаваме, че SC = 58,5.10⁶ km. Превръщаме в астрономически единици и получаваме, че перихелийното разстояние на кометата е около 0,391 au.

За да получим дължината на опашката на кометата, построяваме лъч от Земята на ъгъл от направлението към кометата, равен на ъгловия размер на опашката $\delta_{CT}$. Там, където лъчът се пресича с продължението на линията Слънце-комета, се намира

краят на опашката на кометата. Означаваме я с CT. Дължината на отсечката C-CT е 33 mm. Това означава, че опашката на кометата е дълга 33 милиона километра.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

А) За пресмятане на ъгловите размери на Луната – 0,5 т.
За съобразяване, че хоризонталните размери не се повлияват от рефракцията – 0,5 т.
За правилно пресмятане на мащаба на увеличеното изображение – 1 т.
За вярно изобразяване на размера и положението на неповлияното от рефракцията изображение на Луната – 1,5 т.

Б) За правилни разсъждения и определяне на рефракцията на горния и долния край на Луната – 0,5 т. + 1 т.

В) За правилни разсъждения и получаване на краищата на рогата на лунния сърп върху оригиналното изображение (променено от рефракцията) – 0,5 т.
За правилен метод и получаване на краищата на рогата на лунния сърп върху неповлияното от рефракцията положение на Луната – 1 т.

Г) За съобразяване на това, че трябва да се измерва от неповлияното изображение на Луната върху снимката с Луната и кометата – 0,5 т.
За правилни разсъждения и получаване на мащаба на снимката – 0,5 т.
За точни измервания и краен резултат – 1 т.
За правилна представа на взаимното пространствено разположение на Слънцето, Земята, кометата и кометната опашка – 1,5 т.
За правилен и точен чертеж с подходящо подбран мащаб – 1 т.
За точни измервания и получаване на перихелийното разстояние в астрономически единици – 1 т.
За точни измервания и получаване на дължината на опашката на кометата в милиони километри – 1 т.