НОА 2025, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Планетология

Решение.

А) Тъй като радиусът на орбитата на Сатурн е голям, направлението от него към Земята практически съвпада с това от него към Слънцето. Така заключаваме, че в първа четвърт той е обърнат към Земята изцяло със задното (светло) полукълбо, а в последна четвърт изцяло с водещото (тъмно) полукълбо. Нека потокът в първия случай е $\Phi_1$, а във втория е $\Phi_3$. Когато Япет е в новолуние, към Земята са обърнати половината от задното и половината от водещото полукълбо. От съображения за симетрия потокът тогава трябва да е $(\Phi_1+\Phi_3)/2$.

Сега първо намираме отношението $\Phi_3/\Phi_1$:

Това ни позволява да пресметнем звездната величина в случая на новолуние:

Б) Трябва да оценим плътността на веществото, имайки предвид, че става дума за рехава скала. Взимаме $\rho = 1500\ \mathrm{kg/m^3}$ и го умножаваме по обема на половин тънка сферична черупка. Резултатът е

В) Да вземем момент, в който спътникът е разделен на тъмно и светло полукълбо, и нека помислим какво би се случило с малко количество лед, поставено на всяко от полукълбата. Тъй като тъмното полукълбо като цяло има по-малко лед, неговата отражателна способност ще е по-ниска. Понеже то поглъща повече излъчване от Слънцето, равновесната му температура ще е по-висока спрямо тази на светлото полукълбо (като бавното околоосно въртене на Япет допълнително спомага за тази разлика). Тогава ледът в тъмното полукълбо съответно сублимира много по-бързо, което означава, че натрупването на лед ще става по светлото полукълбо. [1]

И така, колкото по-малко лед има поначало върху дадено полукълбо, толкова по-лесно става намаляването на оставащото количеството лед по него. Това се нарича процес с положителна обратна връзка. Аналогията на Земята е темпът на топене на леда в полярните шапки. В климатологията са известни и много други примери за такива процеси.

Г) За да намерим височината на хребета, трябва да съпоставим размерите му с тези на ъгловия радиус на Япет $R$, ако той се побираше на същата снимка. Това може да направим само косвено. Построяваме възможно най-дългата отсечка $l$ с краища по лимба (периферията на диска) на Япет. След това измерваме отсечката $x$, съответстваща на дължината от симетралата на $l$ до лимба.

Както е видно от Фигура А5,

В произволни мерни единици имаме $x = 2{,}4$, $l = 21{,}4$, $H = 0{,}5$, като внимаваме да мерим височината на хребета точно по лимба, за да избегнем ефекти от проекцията. Пресмятанията дават $R = 24{,}9$, и оттам с пропорция относно $R_I = 734\ \mathrm{km}$ превръщаме до $H = \mathbf{15\ km}$.

Д) По-голямата част от снимката обхваща голям стар кратер. Близо до периферията му се удря ново тяло, което създава по-малък нов кратер. Взривът води до свлачище от стената на стария кратер, при което скалната маса се изсипва в средата на новия.

Литература:
[1] https://www.science.org/doi/10.1126/science.1177132

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За разпознаване по какъв начин е обърнат Япет към Земята във всяка от конфигурациите – 1,5 т.
За намиране на отношението на потоците от водещото и задното полукълбо на Япет – 1 т.
За разбиране, че потокът в новолуние трябва да е средноаритметичен на другите два – 0,5 т.
За вярно намиране на звездната величина на Япет в новолуние – 1 т.

Б) За добре избрана стойност на плътността на тъмния слой – 0,5 т. (допускат се стойности от $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ до $2500\ \mathrm{kg/m^3}$)
За формула за масата и верен числен резултат – 1 т.

В) За обяснение на явлението като процес с положителна обратна връзка – 2,5 т.

Г) За правилна идея за намиране на височината на хребета – 1 т.
За изразяването на $R$ чрез величини, които могат да се измерят – 1 т.
За точни измервания и краен резултат – 1 т.

Д) За изреждане на правилната поредица събития – 1 т.