НОА 2025, IV кръг, Младша възраст — Задача 2. Снимка на Луната

• А) Малко след първа четвърт; h = 1.9°
• Б) $\varphi_{\min} \approx 58^{\circ}34'$
• В) 58 °

Решение.

А) На снимката се вижда, че е огрян малко повече от половината лунен диск и че светлата част от Луната е отдясно. Понеже наблюденията са проведени от северното полукълбо на Земята, фазата на Луната е малко след първа четвърт.

На даденото изображение, лунният диск има диаметър 11 mm. Използвайки дадения в справочните данни видим ъглов диаметър на Луната, намираме, че ъгловият мащаб на снимката по небето е $166''/\mathrm{mm}$. Центърът на Луната на снимката е на 41 mm от хоризонта. Следователно височината е му е $h = \mathbf{1.9^{\circ}}$.

Б) На снимката се вижда, че лунният терминатор е практически вертикален. Това означава, че Луната е много близо до горна кулминация. Тъй като кадърът е заснет в северното полукълбо, Луната ще се вижда в посока юг и измерената височина в предното подусловие е именно височината ѝ в горна кулминация.

Най-малката северна географска ширина, на която бихме могли да заснемем този кадър, съответства на случая, в който Луната има своята най-южна възможна деклинация $\delta_{\min}$. Нейната стойност е

Ако не отчитаме денонощния паралакс на Луната (тоест ако приемем, че тя е на безкрайно разстояние от нас), за височината $h$ можем да запишем

Оттук намираме, че

Сега ще направим и опит да отчетем паралакса, разглеждайки взаимното разположение на наблюдателя (т. $H$) и центъра на Луната (т. $L$). На Фигура А1 земната ос, $H$ и $L$ са в една равнина, защото Луната е на юг за наблюдателя. Означението $z = 90^{\circ} - h = 88.1^{\circ}$ указва зенитното отстояние на Луната. В пресмятанията си няма да използваме $z$ поради лошата точност на измерване, като вместо това ще гледаме само справочните данни, които са дадени с много значещи цифри. Разстоянието $LH$ намираме по формулата

Можем и да изразим $LH$ спрямо разстоянието Земя-Луна чрез косинусовата теорема:

За този ъгъл е изпълнено също

Така $\varphi_{\min} = \angle LOH - i - \varepsilon \approx \mathbf{58^{\circ}34'}$.

В) В разгледания случай Луната достига своята максимална възможна южна деклинация. Това означава, че в този момент лунната орбита е разположена така, че възходящият ѝ възел съвпада с пролетната равноденствена точка.

След точно шест синодични лунни месеца фазата на Луната ще бъде същата, т.е. тя ще бъде на точно същата конфигурация спрямо Слънцето, както в деня, в който е заснета снимката. Интервалът от време е равен приблизително на 177 денонощия ($6 \times 29.5\ \mathrm{d}$) или почти точно на половин година. Поради това Слънцето тогава ще бъде почти точно в противоположната точка по еклиптиката спрямо тази, в която то се е намирало, когато е получен даденият кадър. Това означава, че Луната също ще бъде приблизително в противоположната част на своята орбита.

Лунната орбита ще си остава разположена почти точно по същия начин спрямо еклиптиката, защото периодът на прецесия на линията на възлите е значително по-дълъг от половин година (неговата продължителност е около 18.6 години). Съответно можем да считаме, че след шест синодични периода деклинацията на Луната ще бъде максималната възможна, но в посока север спрямо небесния екватор. Стойността на тази деклинация е

Понеже в това подусловие се иска да се направи само оценка за максималната височина, то можем и да не отчитаме паралакса на Луната. Височината се изчислява така:

Никола Каравасилев

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За правилни разсъждения относно фазата на Луната и верен извод – 1 т.

За определяне на ъгловия мащаб по небето чрез измерване на диаметъра на лунния диск – 1 т.

За определяне на височината на центъра на лунния диск над хоризонта и верен резултат – 1 т.

Б) За съобразяване на това, че Луната трябва да има максимална южна деклинация – 0.5 т.

За намиране на максималната южна деклинация на Луната – 0.5 т.

За правилно геометрично представяне на положенията на Луната и наблюдателя, верни геометрични разсъждения за намиране на географската му ширина и правилен краен резултат – 6 т. (ако ученикът не отчита денонощният паралакс, се присъждат максимум 3 т.)

Забележка. Ученикът може да е разсъждавал по начин, съществено различен от този, който е представен в авторското решение. Ако разсъжденията са верни и е получен правилен резултат, следва да се присъдят максимален брой точки.

В) За правилно съобразяване на начина, по който лунната орбита и разположена спрямо еклиптиката, в деня, в който е получена снимката – 1 т.

За правилно съобразяване на деклинацията на Луната шест синодични месеца след заснемането на тази снимка – 2 т.

За верен израз и правилна числена стойност за максималната височина над хоризонта, която Луната ще достигне – 2 т.