Съдържание

НОА 2025, IV кръг, Младша възраст — Задача 3. Спътник на Земята

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ ХХVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ Подборен кръг, 12 юли 2025 г., Варна, теоретичен тур Младша възраст · 12 юли 2025 г. · 15 т.

Условие

Един изкуствен спътник се движи по кръгова орбита около Земята точно в равнината на екватора и по посока на земното околоосно въртене. Орбиталната скорост на спътника е равна на $v = 6.9\ \mathrm{km/s}$ .

А) Намерете височината на спътника над земната повърхност $h$ . [3 т.]

Б) От каква част от земната повърхност $k$ спътникът може да бъде наблюдаван в даден момент? [3 т.]

В) От каква част от земната повърхност $k'$ спътникът може да се наблюдава като цяло? [3 т.]

Г) Намерете ъгловата скорост на спътника $\omega$ спрямо звездите за наблюдател на Земята, ако спътникът се намира на хоризонта на наблюдателя. [3 т.]

Д) Колко време $\Delta t$ ще измине след преминаването на спътника през зенита на наблюдател, докато височината му над хоризонта на наблюдателя намалее до $60^{\circ}$ ? [3 т.]

Не отчитайте атмосферната рефракция.

Справочни данни:

Гравитационна константа	$G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$
Маса на Земята	$M = 5{,}97.10^{24}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Земята	$R = 6378\ \mathrm{km}$
Звездно денонощие	$T_* = 23\ \mathrm{h}\ 56\ \mathrm{m}\ 04\ \mathrm{s}$

Отговори

Решение

Решение.

А) Нека с $v$ да означим орбиталната скорост на спътника, а $h$ да е търсената височина над земната повърхност. Тъй като той се движи по кръгова орбита, имаме

v = \sqrt{\frac{GM}{R + h}} \ \Rightarrow\ h = \frac{GM}{v^2} - R = \mathbf{2030\ km}.

Б) За максималната географска ширина $\varphi_{\max}$ , от която спътникът може да бъде наблюдаван, може да запишем

\cos\varphi_{\max} = \frac{R}{R + h}.

Областта от земната повърхност, от която в даден момент можем да наблюдаваме спътника, представлява сегмент от Земята с централен ъгъл $\varphi_{\max}$ . Оттук можем да намерим, че площта на този сегмент е

S = 2\pi R^2 (1 - \cos\varphi_{\max}).

Търсената част от площта на цялото земно кълбо е

k = \frac{S}{4\pi R^2} = \frac{1 - \cos\varphi_{\max}}{2} = \frac{h}{2(R + h)} = \mathbf{0.12}.

В) Областта, по земната повърхност, от която като цяло (в течение на дълъг период от време) можем да наблюдаваме спътника, е заключена между паралелите с географска ширина $\varphi_{\max}$ на север и на юг от екватора. Това означава, че областите, от които спътникът е ненаблюдаем, представляват сферични шапки с централни ъгли $90^{\circ} - \varphi_{\max}$ . Общата площ на тези две области е

S' = 4\pi R^2 \big(1 - \cos(90^{\circ} - \varphi_{\max})\big) = 4\pi R^2 (1 - \sin\varphi_{\max}).

Частта, която те заемат от площта на земното кълбо, е

k_a = \frac{S'}{4\pi R^2} = 1 - \sin\varphi_{\max}.

Оттук следва, че частта от повърхността на Земята, от която спътникът може да се наблюдава като цяло, е

k' = 1 - k_a = \sin\varphi_{\max} = \sqrt{1 - \cos^2\varphi_{\max}} = \frac{\sqrt{(2R + h)h}}{R + h} = \mathbf{0.65}.

Г) Когато спътникът се намира на видимия хоризонт, разстоянието между него и наблюдателя е

d = \sqrt{(R + h)^2 - R^2}.

Нека да означим с $\alpha$ ъгъла, който векторът на скоростта на спътника сключва с хоризонта (лъча на зрение) в този момент. Използвайки чертежа от Фигура А2, можем да направим извода, че този ъгъл е равен на $\varphi_{\max}$ .

Компонентата на скоростта на спътника, която е перпендикулярна на лъча на зрение, може да се изрази като

v_\tau = v \sin\alpha = v \sin\varphi_{\max}.

В този случай линейната скорост на наблюдателя е насочена точно по лъча на зрение и по тази причина не трябва да бъде отчитана. Затова видимата ъглова скорост е

\omega_2 = \frac{v_\tau}{d} = \frac{v \sin\varphi_{\max}}{\sqrt{(R + h)^2 - R^2}} = \mathbf{2.8\ arcmin/s}.

Земята (син кръг с радиус R) и концентрична окръжност — орбитата на спътника с радиус R + h; от спътника на хоризонта на наблюдателя са начертани векторите v и v_τ, ъгълът α и разстоянието d; при центъра ъгълът φ_max; горе височината h, зенитното отстояние z, ъглите γ и β. — Фигура А2. Движение на спътника по орбитата му.

Д) Орбиталният период на спътника е

P = \frac{2\pi (R + h)}{v} \approx 128\ \mathrm{min}.

Понеже спътникът се движи по своята орбита в същата посока, в която Земята се върти около своята ос, то ако $t$ е интервалът от време между две последователни преминавания на спътника през зенита за един и същи наблюдател, ще е изпълнено

\frac{1}{t} = \frac{1}{P} - \frac{1}{T_*} \ \Rightarrow\ t = \frac{P T_*}{T_* - P} \approx 140\ \mathrm{min}.

Нека със $z = 30^{\circ}$ да означим зенитното отстояние на спътника. Използвайки означенията на чертежа, можем да запишем следното равенство, произтичащо от синусовата теорема:

\frac{\sin(180^{\circ} - z)}{R + h} = \frac{\sin\gamma}{R}.

Пресмятаме, че $\gamma \approx 22.3^{\circ}$ . За централния ъгъл може да запишем $\beta = 180^{\circ} - (180^{\circ} - z + \gamma) = z - \gamma = 7.7^{\circ}$ . Търсеният интервал $\Delta t$ се отнася към периода $P$ , както ъгълът $\beta$ се отнася към $360^{\circ}$ . Следователно

\Delta t = \frac{\beta}{360^{0}} P \approx \mathbf{3\ min}.

Никола Каравасилев

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За правилен буквен израз за височината на спътника – 2 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

Б) За правилен израз за максималната географска ширина, от която спътникът може да се наблюдава – 1 т.

За правилен израз за площта на областта, от която спътникът може да бъде видян в даден момент – 1 т.

За правилно изразяване на търсената част от повърхността на земното кълбо и верен числен резултат – 1 т.

В) За правилна геометрична представа за областите от които спътникът може да се наблюдава като цяло – 0.5 т.

За правилно изразяване на общата площ на областите, от които спътникът не може да бъде наблюдаван – 1.5 т.

За верен израз и числена стойност за частта от земната повърхност, която спътникът може да бъде наблюдаван – 1 т.

Г) За намиране на разстоянието до спътника на видимия хоризонт – 1 т.

За изразяване на тангенциалната компонента на скоростта – 1 т.

За правилен израз за видимата ъглова скорост – 0.5 т.

За верен числен резултат – 0.5 т.

Д) За намиране на „синодичния“ период на спътника – 0.5 т.

За правилна геометрична постановка за намиране на централния ъгъл, на който спътникът трябва да се отклони спрямо наблюдателя, и съответните алгебрични изразявания – 1.5 т.

За правилен израз за търсения интервал и верен числен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: 25-IV-teorML.pdf · официални решения: a25-IV-teorML.pdf