НОА 2025, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Две звезди в телескоп

• А) $\beta = 21'$
• Б) $\alpha = 17^{\mathrm{h}}43^{\mathrm{m}},\ \delta = +57.1^{\circ}$
• В) 13 mag

Решение.

А) Да начертаем земното кълбо и да означим с $A'$ и $B'$ точките по земната повърхност, за които съответно всяка от звездите $A$ и $B$ е в зенита в даден момент. Дъгата $A'B'$ ще се явява ъгловото отстояние $\beta$ между $A$ и $B$. Ако мястото на наблюдателя по земното полукълбо е точка $X$, то мярката на дъгата $XA'$ по земното полукълбо представлява зенитното отстояние на $A$. Аналогично и за $B$.

По условие сборът от височините $h_A + h_B$ не става повече от $179^{\circ}39'$. Понеже зенитните отстояния са $z_{A,B} = 90^{\circ} - h_{A,B}$, сборът от зенитните отстояния явно е най-малко $21'$, независимо от положението на $X$.

Сега за по-лесно ще решаваме обратната задача – ако знаем $\beta$, каква е минималната сума на зенитните отстояния на звездите където и да е по земното кълбо? Тук искаме сумата $XA' + XB'$ да е минимална. Тя със сигурност е по-голяма или равна на $A'B'$, защото най-кратката траектория между две точки по земното кълбо е именно големият кръг, който ги свързва (тоест кръгът по сферата, който минава през точките и чийто радиус е равен на радиуса на сферата). Виждаме, че равенство може да се достигне, ако $X$ лежи където и да е по малката дъга $A'B'$. Затова $z_A + z_B \ge \beta$. Заключаваме, че $\beta = \mathbf{21'}$.

Б) Деклинацията на звездите $\delta$ може да се намери, сравнявайки времената за преминаването през зрителното поле на окулярите с фокусни разстояния $f_1$ и $f_2$. Съгласно упътването означаваме техните зрителни полета с $\gamma$ и $2\gamma$. Когато звездите преминават през зрителното поле на застопорен телескоп, ние виждаме тяхното движение по денонощните им паралели. Тъй като зрителните полета обхващат малки ъгли, отрязъците от успоредните денонощни паралели на $A$ и $B$ в полетата са малки дъги и затова можем да пренебрегнем кривината им, приемайки ги за успоредни отсечки. Ъгловата скорост по тези отсечки е $\omega_E \cos\delta$, където $\omega_E = 2\pi/T_E$ е ъгловата скорост на Земята (в $\mathrm{rad/s}$), а $\cos\delta$ е множител, който коригира за геометричен ефект – по-далече от небесния екватор звездите обират $\cos\delta$ пъти по-малки ъгли при въртенето около небесната ос.

Звездите $A$ и $B$ влизат и излизат от зрителното поле точно едновременно. Затова отсечките им по зрителното поле са успоредни и равни, като освен това звездите имат и еднаква ректасцензия, тоест лежат на един меридиан. Записваме, че разликата в ректасцензиите е $\Delta\alpha = \mathbf{0}$, като това ни дава също, че разликата в деклинациите им е $\Delta\delta = \beta = \mathbf{21'}$.

Сега съставяме общ чертеж на преминаването през зрителните полета. Тъмносиният кръг съответства на полето на окуляра с $f_1$, а светлосиният – на този с $f_2$. Условно приемаме, че звездата $A$ има по-голяма деклинация. Ако деклинацията нараства нагоре, то звездите се движат надясно, а ректасцензията нараства наляво. С индекси 1 и 2 ще бележим съответно точките на влизане и на излизане.

Имаме, че $A_1A_2 = (\omega_E \cos\delta) t_1$ и $A_1B_1 = \Delta\delta = \beta$. Също така, от $A_1A_2 \perp A_1B_1$ следва, че $A_2B_1$ е диаметър на полето и съответно има мярка $\gamma$. Подобно съображение може да се направи и за по-голямото поле. Така стигаме до системата

Умножаваме първото уравнение по 4 и изваждаме от него второто, за да изключим $\gamma$. Така достигаме

Отрицателната деклинация се изключва, защото в този случай звездите биха били неизгряващи за Варна. Като отговор оставяме $\delta = \mathbf{+57.1^{\circ}}$. Може да намерим и $\gamma = 34'$, но това не се иска от нас в условието. При правилна работа с помощната стойност $\beta = 18'$ бихме получили $\delta = +43.1^{\circ}$.

Намирането на ректасцензията на звездите може да се направи независимо от останалата задача. Датата е 12.07 и в България се спазва лятно часово време. Следователно кулминацията на звездите става в 22:26 местно (средно слънчево) време за централния меридиан на българския часови пояс, $30^{\circ}\ \mathrm{E}$. Варна е на $2^{\circ}$ западно от този меридиан, така че местното време във Варна е 22:18.

Приемаме за септемврийското равноденствие дата 22.09. Датата на наблюдение 12.07 е 31 + 31 + 10 = 72 дни преди равноденствието. Знаем, че на 22.09 средното слънчево време и звездното време съвпадат, като с всеки ден след това звездното време избързва с 3 m 56 s. От това възстановяваме, че звездното време за наблюдателя е 4 h 43 m назад от 22:26, тоест то е 17:43, или $s = 17^{\mathrm{h}}43^{\mathrm{m}}$. Сега използваме връзката между звездно време $s$, часов ъгъл $t$ и ректасцензия $\alpha$:

При кулминация $t = 0^{\mathrm{h}}$, с което даваме отговор $\alpha = \mathbf{17^{h}43^{m}}$.

В) Главната идея тук е, че при твърде големи фокусни разстояния не всичката светлина, която се фокусира, ще попадне в зеницата на наблюдателя. Успоредните лъчи, влизащи в обектива, излизат при окуляра като успореден сноп с ширина $d_P$, която се нарича изходяща зеница. От подобни триъгълници може да намерим за размера на изходящата зеница

Когато $d_P$ надвишава размера на зеницата на наблюдателя $d_E$, той ще получава част $(d_E/d_P)^2$ от получената от телескопа светлина. Сравнявайки с наблюдения с просто око, обективът получава $(D/d_E)^2$ пъти повече поток. Затова при $d_P > d_E$ наблюдателят прихваща

пъти повече поток. Виждаме, че колкото повече се увеличава фокусното разстояние, толкова по-малко ни помага телескопът.

Разбира се, ако $d_P < d_E$, тоест $f < F d_E/D \equiv f_{\lim}$, с телескопа имаме подобрение $K = (D/d_E)^2$, което не зависи от $f$ и винаги надвишава $(F/f)^2$. За улеснение може да построим следната графика на $K$ от $f$:

Нека определим кой окуляр на какво място по графиката съответства. Знаем, че ако увеличим фокусното разстояние от $f_1$ на $f_2$, видимият блясък в телескопа не се променя. Това означава, че и двете са по-малки от $f_{\lim}$ и съответстват на хоризонталния участък по графиката. Знаем също, че ако увеличим $f_2$ със съвсем малко, звездите вече стават невидими. Явно $f_3$ вече е в другия участък и величината $f_{\lim}$ е заключена някъде между $f_2$ и $f_3$, тоест

Щом съвсем леко навлизане в другия участък на графиката веднага прави звездите невидими, значи те се регистрират едвам-едвам дори и при максималното $K = K = (D/d_E)^2 = 600$. Това подсказва, че от всяка звезда идва такъв поток $\Phi$, че когато го умножим по $K$, той за малко надвишава граничния поток на видимост за човешкото око $\Phi_{\min}$.

Знаем, че $\Phi_{\min}$ съответства на звездна величина $m_{\lim} = 6$. Тогава с формулата на Погсън може да намерим звездната величина на нашите звезди:

Стефан Иванов

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За правилен отговор – 1.5 т.

За дадена примерна ситуация, когато се достига максимален сбор на височините – 0.5 т.

За доказателство, че няма как сборът да е по-голям – 2 т.

Б) За правилна геометрична постановка на преминаването на звездите през зрителното поле, за разлика в ректасцензиите и деклинациите – 1.5 т.

За намиране на $\cos\delta$ – 1.5 т.

За изключване на южното полукълбо и отговор за $\delta$ – 0.5 т.

За отчитане на лятното часово време – 0.5 т.

За намиране на местното време във Варна – 0.5 т.

За намиране на звездното време – 1 т.

За намиране на ректасцензията – 0.5 т.

В) За качествени съображения относно изходящата зеница – 1 т.

За формулата за изходяща зеница – 1 т.

За разбиране, че работим около равнозенично увеличение – 1 т.

За разбиране, че работим около граничната звездна величина – 1 т.

За оценка на звездната величина – 1 т.