НОА 2025, IV кръг — Задача 4. Пътуваме във времето

• Б) 13.84 ′

  Официалният отговор е 13.84′; в критериите е посочено, че точното изчисление дава 13.72′ (пълен брой точки за [13.5′; 13.9′]).

• Г) 10.7 mas/yr

  В текста на решението: μ = 10.67 mas/yr; критериите приемат [8 mas/yr; 13 mas/yr].

• Е) Δα′ = +2.25 m, Δδ′ = +30.7′

  В отговора е отпечатано „Δα = +2.25ᵐ“ (без прим).

Б) Отговор: $\eta = 13.84'$

Г) Отговор: $10.7\ \mathrm{mas/yr}$

Е) Отговор: $\Delta\alpha = +2.25^{\mathrm{m}}$

Отговор: $\Delta\delta' = +30.7'$

Решение.

Б) Звездите са много близо една до друга, така че може да работим в плоско приближение. Ъгловото отстояние между звездите е $\Delta\alpha\cos\delta = 13.28'$. Общото отстояние е

В) По ъгловото отстояние $\eta$ намираме мащаба на Фигура 6 и Фигура 7: $3.50\ \mathrm{mm}/'$. Тъй като гледаме малка област по небето, паралелите и меридианите се явяват успоредни прави линии. Паралелът и меридианът през V сключват прав ъгъл. Знаем, че разстоянието от A до меридиана (това е разлика в ректасцензии) е $13.28' \equiv \mathrm{AS}$, а това от A до паралела е $3.90' \equiv \mathrm{SV}$ (това е разлика в деклинации). Отсечките AS и SV са също под прав ъгъл, така че точката S лежи на окръжността с диаметър AV, като същевременно разстоянието ѝ от V е $3.90'$. Тогава за положението на S намираме две възможности, които означаваме с $\mathrm{S_1}$ и $\mathrm{S_2}$.

За всеки вариант проследяваме посоките на нарастване на деклинацията и ректасцензията съгласно знаците на $\Delta\alpha$ и $\Delta\delta$. Звездните карти не са обърнати и съответно ако направлението на увеличаване на $\delta$ се пада нагоре, то това на увеличаване на $\alpha$ трябва да е наляво. Така вариант $S_2$ отпада. Затова именно линията $\mathrm{VS_1}$ е нашият меридиан M. Перпендикулярната ѝ линия е нашият паралел R.

Г) След пътуването във времето идват промени и от собственото движение на звездите, и от промяната на ориентацията на картата (която се явява просто завъртане под някакъв ъгъл). За да отчитаме собствени движения, трябва да сравним двата кадъра, ако ориентацията им беше същата. Под това ориентацията да е същата се има предвид, че трябва да завъртим Фигура 6 под такъв ъгъл, че след време $\Delta t = 37373 - 2025 = 35348\ \mathrm{yr}$ в бъдещето положенията на A, B и C да са точно на същите места по листа хартия като тези от Фигура 7.

Ъглите, на които се отместват трите звезди за време $\Delta t$, са $\beta_A = 22.8'$, $\beta_B = 11.1'$, $\beta_C = 19.3'$. По кадрите това съответства на $R_A = 79.9\ \mathrm{mm}$, $R_B = 38.9\ \mathrm{mm}$ и $R_C = 67.6\ \mathrm{mm}$. Сега налагаме лист прозрачна хартия върху Фигура 6 и бележим положенията на звездите там с $\mathrm{V_0}$, $\mathrm{A_0}$, $\mathrm{B_0}$ и $\mathrm{C_0}$. Около звездите ориентири чертаем окръжности с радиуси $R_A, R_B, R_C$, които означаваме с $c_A, c_B, c_C$. Те ще съдържат всички възможни положения на звездите в бъдещето при условия на запазване на ориентацията на картата.

Оттук нататък започваме да въртим листа прозрачна хартия над Фигура 7, като търсим положенията на A, B, C от Фигура 7 едновременно да попаднат върху съответните им окръжности. С няколко проби откриваме, че има единствен вариант това да стане. Когато прецизно намерим конфигурацията на съвпадение, преписваме върху прозрачната хартия A, B, C и V от кадъра в годината 37373. Накрая мерим отстоянието между V и $\mathrm{V_0}$. То е $22.0\ \mathrm{mm}$, което е ъгъл $6.3'$, и оттам $\mu = 10.67\ \mathrm{mas/yr}$.

Коментар. Всъщност собственото движение на VW Cep е много високо ($636\ \mathrm{mas/yr}$). За целите на задачата положението на звездата е изкуствено преместено. Останалите данни не са променяни.

Д) Върху листа прозрачна хартия пренасяме също меридиана и паралела за $V_0$. Търсим по какъв начин те се завъртат поради прецесията на земната ос. Кадрите се правят близо до северния небесен полюс $\mathrm{P_0}$ и северния еклиптичен полюс π, което позволява да работим в плоско приближение. Съставяме чертеж за прецесията. За време $\Delta t$ полюсът $P_0$ се завърта с $\frac{35348\ \mathrm{yr}}{25800\ \mathrm{yr}} \cdot 360^{\circ} = 493^{\circ}$ до положение $P$ в посока, обратна на тази на нарастването на ректасцензията. Използваме $\measuredangle \pi \mathrm{P_0 V} = \alpha - 18^{h} = 2^{\mathrm{h}}37^{\mathrm{m}}$ и $\mathrm{P_0 V} = 90^{\circ} - \delta = 14^{\circ}19'$, за да нанесем положението на V. Сега отчитаме графично $\mathrm{PV} = 39.6^{\circ}$, с което намираме, че новата деклинация на точката $\mathrm{V_0}$ е $\delta' = 60.4^{\circ}$. Също измерваме $\measuredangle \mathrm{P_0 V P} = 154^{\circ}$. Това ще бъде ъгълът между меридианите през $\mathrm{V_0}$, когато сравняваме двата кадъра.

Пренасяме това на прозрачната хартия, с което получаваме меридиана и паралела през $\mathrm{V_0}$. Виждаме под какъв ъгъл те пресичат краищата на Фигура 7 (също преписани върху пауса). Накрая използваме тази информация, за да построим правилните паралел и меридиан през изместеното положение на двойната звезда V.

Е) По Фигура 7 вече можем да спуснем перпендикуляри от A към меридиана M′ и паралела R′. Техните ъглови размери са $30.7'$ по деклинация и $16.7'$ по ректасцензия. Ползвайки новата деклинация на V, разделяме размера по ректасценция на $\cos\delta$ и превръщаме в минути, с което получаваме $\Delta\alpha' = +2.25^{\mathrm{m}}$. Корекцията по деклинация също е положителна, $\Delta\delta' = +30.7'$.

Критерии за оценяване.

А) За всяка звезда [0.5 т.]

Б) [13.5’; 13.9’] [3 т.] // [53.7’; 54.0’] [2 т.] (при изпуснат $\cos\delta$)

Точното изчисление дава $\eta = 13.72'$.

В) R и P са две взаимноперпендикулярни прави линии [1 т.]

Правилни посоки на нарастване (като квадранти) [1 т.]

И паралелът сключва ъгъл $[17^{\circ}; 30^{\circ}]$ с дългата страна на кадъра [1 т.]

Точната стойност е $25^{\circ}$.

Г) [8 mas/yr; 13 mas/yr] [4 т.]

Д) Правилни посоки на нарастване (като квадранти) [1 т.]

И паралелът сключва ъгъл $[45^{\circ}; 70^{\circ}]$ с дългата страна на кадъра [3 т.]

Точната стойност е $55^{\circ}$.

Е) $\Delta\alpha'$: [1.9ᵐ; 3.3ᵐ] [2 т.]

$\Delta\delta'$: [+25’; +33’] [1 т.]

Задачите са съставени от: Стефан Иванов (1-4)