НОА 2025, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Планетата на гръмотевиците

• А) 8191

• Б) 6

  6 обиколки (последната шеста обиколка дори е непълна).

• В) 26 %

  $\frac{94^{\circ}}{360^{\circ}} \approx 0{,}26$

Решение.

А) Означаваме масите на планетата и звездата съответно с $M_P$ и $M$. Радиусите на орбитата на станцията на Искрен около планетата и на планетата около звездата означаваме с $r_1$ и $r$. По условие

Станцията на Искрен при движението си около планетата остава винаги над Големия зелен вихър. Следователно нейният орбитален период е равен на периода на околоосно въртене на планетата $P$. Нека $T$ е орбиталният период на планетата около звездата. Съгласно III закон на Кеплер:

Разделяме почленно последните две равенства и получаваме

Тъй като $P$ е периодът на околоосно въртене на планетата, то той се равнява на звездното денонощие за нея. Планетата се върти около оста си в същата посока, в която обикаля около звездата. В такъв случай броят на звездните денонощия в една година за нея ще бъде 8192, а броят на слънчевите денонощия ще бъде 8192 – 1 = 8191.

Б) Станцията на Николай има орбитален период $\frac{77}{12}P = 6\frac{5}{12}P$. Следователно за един орбитален период на тази станция планетата ще направи 6 пълни завъртания около себе си, след което ще се завърти още на ъгъл $\theta = 360^{\circ} \cdot \frac{5}{12} = 150^{\circ}$. Означаваме с $r_p$ перицентралното разстояние на станцията.

На схемата в сиво е означена областта от планетата, която е видима за наблюдател на борда на станцията. Секторът от планетата, който съответства на тази област, има при върха си ъгъл $2\alpha$. Можем да го намерим от съотношението

Тъй като е дадено, че $r_P = 1.1667R$, то оттук получаваме $\alpha \approx 31^{\circ}$. Следователно $2\alpha = 62^{\circ}$.

По-нататък продължаваме решението графично. Начертаваме кръг, който ще представлява планетата. Начертаваме произволен радиус и още един на ъгъл $62^{\circ}$ от първия радиус. Така получаваме сектор от планетата, съответстващ на областта от повърхността, фотографирана от станцията при едно нейно преминаване през перицентъра на орбитата. Защриховаме този сектор.

Приемаме, че апсидната линия (голямата ос) на орбитата на станцията не променя своята ориентация. До следващото преминаване на станцията през перицентъра планетата е направила 6 пълни завъртания около оста си и се е завъртяла още на ъгъл $150^{\circ}$. Следователно следващата област от повърхността на планетата, над която ще бъде станцията в перицентъра на орбитата си, ще е на $150^{\circ}$ от първата област. Начертаваме втори сектор с ъгъл при върха $62^{\circ}$, отместен на $150^{\circ}$ от първия и го защриховаме. Повтаряме същата процедура толкова пъти, колкото е необходимо, за да се защрихова целият кръг, изобразяващ планетата. Виждаме от Фигура А2, че така описаната процедура трябва да се повтори 6 пъти след защриховането на първия сектор. Следователно станцията трябва да направи 6 обиколки около планетата, за да фотографира цялата нейна екваториална зона. (Всъщност последната шеста обиколка дори е непълна).

В) За да бъде напълно тъмно на повърхността на планетата, върху нея не трябва да пада не само пряка, но и разсеяна светлина от звездата. Атмосферата на планетата разсейва звездната светлина над нейната повърхност, дори и когато звездата е вече се е спуснала на не много голяма дълбочина под хоризонта. Това е времето на полумрака. За екватора то продължава $\frac{1}{30}P$ сутрин и вечер. За време, равно на периода $P$, планетата се завърта на $360^{\circ}$ около оста си, което означава, че за време, равно на $\frac{1}{30}P$, тя ще се завърти на ъгъл $360^{\circ}/30 = 12^{\circ}$. Оттук следва, че за наблюдател на екватора полумракът продължава, докато звездата е на не повече от $12^{\circ}$ под хоризонта. Тук не отчитаме разликата между звездното и слънчевото денонощие за планетата, понеже орбиталният период на планетата около Огнената звезда е много по-дълъг от нейния период на околоосно въртене и тази разлика е пренебрежима.

От Фигура А1 за ъгъла $\beta$ можем да напишем $\beta = 90^{\circ} - \alpha = 59^{\circ}$. Апсидната линия на орбитата на станцията си запазва ориентацията. Нека разгледаме ситуацията в координатна система, в която планетата се върти около оста си, но не се движи по орбитата си, а звездата се движи около нея. Тогава, ако не отчитаме полумрака, областта, фотографирана от станцията в перицентъра на нейната орбита, ще бъде неогрявана от звездната светлина през времето, за което звездата се завърта на ъгъл $2\beta$ около планетата. Като добавим и ефекта от полумрака, този ъгъл се намалява с още два пъти по $12^{\circ}$. Общият ъгъл, на който се завърта звездата, докато фотографираната област от планетата остава съвсем тъмна, ще бъде $2\beta - 2 \times 12^{\circ} = 94^{\circ}$. Като част от пълното завъртане на звездата около планетата, това е

Следователно от своята станция космическият пилот Николай ще може да фотографира мълниите на тъмната страна на планетата през около 26% от времето.

Ева Божурова

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) За пресмятане на броя звездни денонощия в една година за планетата – 4 т.
За пресмятане на броя на слънчевите денонощия – 1 т.

Б) За правилни начални разсъждения при определяне на необходимия брой обиколки на станцията, за да се фотографира цялата екваториална зона – 2 т.
За правилна процедура при намиране на крайния отговор – 3 т.

В) За определяне на частта от времето, през което ще може да се фотографират мълнии в тъмната страна на планетата – 3 т.
За отчитане на полумрака – 2 т.