Съдържание

НОА 2026, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Плутон и Нептун

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, областен кръг, възрастова група 11-12 клас · 22 февруари 2026 г. · 12 т.

Условие

Нека си представим, че орбитите на Плутон и Нептун лежат точно в една равнина. В приложените справочни данни са дадени техните важни за задачата орбитални елементи. Приемете, че орбитата на Нептун е кръгова.

Справочни данни:

Гравитационна константа: $G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3s^{-2}kg^{-1}}$

Маса на Плутон: $1{,}30.10^{22}\ \mathrm{kg}$

Маса на Нептун: $1{,}02.10^{26}\ \mathrm{kg}$

Голяма полуос на орбитата на Плутон: $39{,}49\ \mathrm{au}$

Ексцентрицитет на орбитата на Плутон: $0{,}249$

Радиус на орбитата на Нептун: $30{,}08\ \mathrm{au}$

Маса на Слънцето: $2.10^{30}\ \mathrm{kg}$

А) Намерете на колко градуса по орбитата на Нептун отстоят една от друга точките, в които двете орбити се пресичат. Може да използвате, че разстоянието от Слънцето на планета с голяма полуос на орбитата a и ексцентрицитет на орбитата e е

r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\theta}

В тази формула $\theta$ е ъгълът перихелий – Слънце – планета. [3 т.]

Б) Оценете приблизително продължителността на интервала от време, за който Плутон изминава частта от своята орбита, която лежи „вътре“ в орбитата на Нептун. [3 т.]

В) Нека си представим, че гравитацията между Нептун и Плутон се изключва и двете планети се сблъскват при орбиталното си движение. Те претърпяват абсолютно нееластичен удар, т.е. след удара започват да се движат като едно тяло, което има маса равна на сумата от началните им маси (пренебрегваме загубата на маса от удара).

Пресметнете загубената вследствие на удара механична енергия. [6 т.]

Отговори

Решение

Нека въведем следните означения:

$r_N$ – радиус на орбитата на Нептун

$a_P$ – голяма полуос на орбитата на Плутон

$e_P$ – ексцентрицитет на орбитата на Плутон

$M_{SUN}$ – маса на Слънцето

А) Нека с $\theta$ да означим ъгъла на който се намират двете точки на пресичане на двете орбити спрямо направлението към перихелия на Плутон.

Използвайки уравнението на елипса, което е дадено в условието на задачата, имаме че:

r_N = \frac{a_P(1 - e_P{}^2)}{1 + e_P\cos(\theta)}

От тук получаваме:

\cos(\theta) = \frac{1}{e_P}\left(\frac{a_P(1 - e_P{}^2)}{r_N} - 1\right) \approx 0{,}93

\theta \approx 21{,}6°

Следователно ъгълът, на който отстоят двете точки е $2\theta \approx 43{,}3°$

Б) Търсеният интервал от време може да бъде оценен приблизително по няколко начина. Тук ще представим два от тях.

I начин:

Нека да намерим площта $S_N$ от орбитата на Нептун, която радиус-векторът Нептун-Слънце описва за времето, за което тази планета изминава разстоянието между двете точки. Тъй като приемаме орбитата за кръгова, то:

S_N = \frac{2\theta}{360^0}\pi r_N{}^2 \approx 342\ \mathrm{au}^2

Разстоянието, на което Плутон се намира в перихелия на своята орбита е:

r_P = a_P(1 - e_p) \approx 29{,}66\ \mathrm{au}

Това разстояние е приблизително равно на радиуса на кръговата орбита на Нептун (разликата е малко повече от 1%). Поради тази причина, ние можем да приемаме, че двете тела описват една и съща площ от своите орбити при движението си между двете точки на пресичане и тази площ е равна именно на $S_N$ .

За да намерим площта на орбитата на Плутон, трябва първо да пресметнем нейната малка полуос $b_P$ . За тази цел използваме, че:

e_P = \frac{\sqrt{a_P{}^2 - b_P{}^2}}{a_P}

Получаваме че:

b_P = a_P\sqrt{1 - e_P{}^2} \approx 38{,}25\ \mathrm{au}

Площта на орбитата на Плутон е:

S_P = \pi a_P b_P \approx 4\ 745\ \mathrm{au}^2

Нека да намерим орбиталния период на Плутон $T_P$ . Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{r[\mathrm{au}]_P^3}{T[\mathrm{yr}]_P^2} = 1

Оттук получаваме, че: $T_P[\mathrm{yr}] = r[\mathrm{au}]_P^{3/2} \approx 248$ год.

Ако търсеният интервал от време е $\Delta t$ , то съгласно II закон на Кеплер и използвайки приетото приближение:

\frac{\Delta t}{T_P} = \frac{S}{S_P}

Следователно:

\Delta t = \frac{S}{S_P}T_P \approx 17{,}9\ \text{год.}

II начин:

Отново ще използваме това, че перихелийното разстояние на Плутон е приблизително равно на радиуса на орбитата на Нептун. Това означава, че докато се намира между двете точки, в които орбитите им се пресичат, разстоянието между Слънцето и Плутон остава практическо еднакво и равно на $r_N$ .

Поради тази причина, можем да приемем, че скоростта на Плутон за този интервал от време остава постоянна и равна на скоростта, с която той се движи в перихелий – $v_P$ . За тази скорост можем да запишем:

v_P = \sqrt{\frac{GM_{SUN}}{a_P}}\sqrt{\frac{1 + e_P}{1 - e_P}} \approx 6{,}13\ \mathrm{km/s}

Тук ще приемем, че разстоянието $d$ , което Плутон изминава между двете точки е равно на дължината от орбитата на Нептун, съответстваща на дъга, която има централен ъгъл $2\theta$ . Това приближение е удачно, защото в частта между двете точки на пресичане, орбитите на двете тела са много близки една до друга.

За разстоянието $d$ записваме:

\frac{d}{2\pi r_N} = \frac{2\theta}{360^0}

От тук намираме:

d = \frac{2\theta}{360^0}2\pi r_N \approx 22{,}7\ \mathrm{au}

Понеже приехме, че Плутон се движи си постоянна скорост, то търсеният интервал от време е:

\Delta t = \frac{d}{v_P} \approx 17{,}58\ \text{год.}

Получените по двата метода резултати се различават с по-малко от 2%.

В) Орбиталната скорост на Нептун е:

v_N = \sqrt{\frac{GM_{SUN}}{r_N}} \approx 5{,}44\ \mathrm{km/s}

Съгласно закона за запазване на механичната енергия, можем да запишем следното уравнение, от което да намерим скоростта $v_p$ на Плутон по време на сблъсъка:

-\frac{GM_{SUN}M_P}{2a_P} = \frac{M_P v_P^2}{2} - \frac{GM_{SUN}M_P}{r_N}

Оттук:

v_P = \sqrt{GM_{SUN}\left(\frac{2}{r_N} - \frac{1}{a_p}\right)} \approx 6{,}06\ \mathrm{km/s}

Момента на импулса на орбиталното движение на Плутон можем да изразим чрез следното равенство:

L_P = M_P\sqrt{GM_{SUN}a_P(1 - e_P^2)}

(Тази формула може се използва без да се доказва)

Ако с $v_\tau$ означим компонентата на скоростта на Плутон, която е перпендикулярна на радиус-вектора, свърващ Плутон и Слънцето, то може да запишем:

L_P = M_P\sqrt{GM_{SUN}a_P(1 - e_P^2)} = M_P v_\tau r_N

Оттук:

v_\tau^2 = \frac{GM_{SUN}a_P(1 - e_P^2)}{r_N^2} = \frac{GM_{SUN}(1 + e_P\cos(\theta))}{r_N} = v_N^2(1 + e_P\cos(\theta)) \approx 6{,}04\ \mathrm{km/s}

Използвайки Питагоровата теорема, намираме и компонентата на скоростта на Плутон, която е по радиус-вектора към Слънцето:

v_n = \sqrt{v_P^2 - v_n^2} \approx 0{,}45\ \mathrm{km/s}

За да намерим енергията на Нептун и Плутон след удара, ще използваме закона за запазване на импулса.

Преди удара компонентата на общия им импулс, която е перпендикулярна на радиус-вектора към Слънцето е:

p_\tau = M_N v_N + M_p v_\tau

Проекцията на общия импулс, която е насочена към Слънцето е:

p_n = M_P v_n

Лесно може да се пресметне, че $p_n \ll p_\tau$ (отношението е около $10^5$ пъти). Затова можем да приемем, че общият импулс на системата Нептун-Плутон $p$ е равен на $p_\tau$ .

Ако ученикът не е обосновал количествено защо пренебрегва $p_n$ следва да се отнеме 1т. от оценката на това подусловие!

Понеже, съгласно закона за запазване на импулса, би следвало общият импулс на системата да се запази, то кинетичната енергия на тялото, което се е формирало след удара е:

E_k' = \frac{p^2}{2(M_N + M_P)} = \frac{(M_N v_N + M_P v_\tau)^2}{2(M_N + M_P)}

Общата кинетична енергия на двете тела преди удара е:

E_k = \frac{M_P v_P^2}{2} + \frac{M_N v_N^2}{2}

Загубената при сблъсъка механична енергия е:

\Delta E = E_k - E_k' \approx 3{,}64.10^{27}\ \mathrm{J}

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) 3т.

- За правилно написано уравнение на елипса с конкретните ъгли и разстояние: 1т

- За правилен израз за търсения ъгъл: 1т

- За правилна числена стойност: 1т

Б) 3т.

- За всеки правилно аргументиран и коректно изпълнен метод: 3т.

При проверката трябва да се има предвид, че решенията на учениците може съществено да се различават от авторското.

В) 6т.

- За намиране на скоростта на Нептун: 0,5т.

- За намиране на скоростта на Плутон по време на сблъсъка: 1т.

- За съобразяване на това, че скоростта на Плутон не е перпендикулярна на отсечката Плутон-Слънце и намиране на нейната перпендикулярна компонента: 1т.

- За правилно обяснение защо можем да пренебрегнем компонентата на скоростта на Плутон, която е насочена към Слънцето – 1т.

- За правилно прилагане за закона за запазване на импулса: 1т.

- За изразяване на кинетичните енергии преди и след удара: 1т.

- За изразяване на загубената механична енергия и правилна числена стойност: 0,5т.

Оригинал в Архива: 26-II-1112.pdf · официални решения: a26-II-1112.pdf