НОА 2026, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 5. Луна в Плеядите

• Лунното затъмнение се очаква около 8 денонощия след преминаването на Луната пред Плеядите, т.е. най-вероятната дата е 4 март (в действителност 3 март); слънчевото затъмнение – около 162–163 денонощия по-късно, т.е. 13 или 14 август (в действителност 12 август). И двете затъмнения ще се случат на фона на съзвездието Лъв.

  Проверимите елементи: дата на лунното затъмнение ≈ 4 март 2026 г.; дата на слънчевото затъмнение ≈ 13–14 август 2026 г.; съзвездие – Лъв.

Еклиптиката на картата преминава през точката на лятното слънцестоене ($\alpha = 6^{\mathrm{h}}\,00^{\mathrm{m}}$, $\delta = +23°26'$) и през точката на есенното равноденствие ($\alpha = 12^{\mathrm{h}}\,00^{\mathrm{m}}$, $\delta = 0°0'$). Има форма на синусоида в тази проекция. Добре е да си спомним, че минава много близо до Регул, който остава на по-малко от половин градус над нея. На картата на Фиг. 2 виждаме, че орбитата на Луната преминава на повече от $4°$ над еклиптиката. Следователно очакваме в източния край на картата на Фиг. 3 да се намира низходящият възел на лунната орбита. Освен това забелязваме, че фазата на Луната е малко преди първа четвърт. Измерваме отсечката $R_1$ от левия край на лунния диск до терминатора. Определяме радиуса $R$ на изображението на Луната. Пресмятаме разликата $\Delta R_1 = R_1 - R$ и определяме ъгъла $\Delta\varphi$ на който трябва да се завърти Луната, за да достигне първа четвърт:

Времето за което терминаторът ще се завърти на този ъгъл е:

Средното денонощно движение на Луната на фона на звездите е около $13{,}2°$ :

Следователно за време $\Delta t$ Луната ще се премести по орбитата си на ъглово разстояние:

Там тя ще бъде във фаза първа четвърт. До фаза пълнолуние, където Луната ще бъде по време на пълното лунно затъмнение, ще изминат $7{,}38\ \mathrm{d}$:

За това време Луната ще измине по небето ъглово разстояние $\Delta l_1$:

Нека построим положението на Луната в първа четвърт. Ъгловото разстояние от Луната в първа четвърт до Луната в Плеядите е $7{,}13°$. Орбитата на Луната преминава в горната част на Плеядите и продължава да се издига на изток. Деклинацията на орбитата там е около $25°$. Тогава, на височината на Плеядите, между ректасцензиите $4^{\mathrm{h}}$ и $5^{\mathrm{h}}$, ъгловото разстояние не е $15°$, а $(15°.\cos 25°) = 13{,}6°$. На картата това отговаря на $23{,}6\ \mathrm{mm}$. На $7{,}13°$ върху карта отговаря разстояние:

От Плеядите, в източна посока, успоредно на еклиптиката, нанасяме това разстояние и получаваме положението на Луната в първа четвърт. Но ние не можем да построим веднага разстоянието до точката на пълнолуние, защото мащабът на изображение на картата е различен за различни деклинации. Но този ефект може да се минимизира. На картата се намира и точката на лятното слънцестоене и точката на есенното равноденствие. Ъгловото разстояние между тях е $90°$. Остава да определим няколко малки разстояния, които няма да внесат големи погрешности в нашите построения.

В района на ректасцензия $6^{\mathrm{h}}$ орбитата на Луната върви почти успоредно на еклиптиката и има средна деклинации около $27°$. Тогава:

Луната в първа четвърт е на около $1{,}7^{\mathrm{h}}$ от ректасцензия $6^{\mathrm{h}}$. Това е $1{,}7\times13{,}37° = 22{,}72°$. Нека разделим разстоянието до пълнолунието на две части: $90°$ и $7{,}4°$. От лятната точка на слънцестоене до есенната равноденствена точка е точно $90°$. За да стигнем близо до точката, в която Луната е в пълнолуние, трябва да се придвижим от точката на есенното равноденствие по еклиптиката на ъгъл:

Не трябва да забравяме, че в момента на пълнолунието, т.е. на затъмнението, Луната се намира под еклиптиката на $55'$. От там минава и лунната орбита (Фиг. 4)

$\mathsf{L}$ – положението на Луната върху лунната орбита на разстояние $\beta = 55'$ от еклиптиката. Точка $\mathsf{L_o}$ лежи върху еклиптиката.

От правоъгълния триъгълник $\mathsf{LL_oN}$ следва:

Където $i = 5°\,9'$ е наклонът на лунната орбита. Следователно на $10°$ на запад, по еклиптиката, се намира низходящият възел на лунната орбита. Виждаме, че той е много близо до звездата Регул.

Като използваме тези две точки, както и началното положение на Луната в Плеядите, построяваме проекцията на лунната орбита, така както се вижда от наблюдателя в края на февруари и началото на март. Разбира се, това е приблизително построение, защото точното положение на орбитата, възлите на орбитата, както и самата Луна, зависят от положението на наблюдателя върху повърхността на Земята.

Приблизително моментът на лунното затъмнение може да се определи като се използват средните движения на Луната. Очакваме затъмнението да се случи около пълнолуние, което ще настъпи след $7{,}38\ \mathrm{d} + \Delta t = 7{,}92\ \mathrm{d}$. Следователно лунното затъмнение ще се е случи около 8 дни след като Луната преминава на фона на Плеядите. След пресмятане получаваме, че най-вероятната дата е 4 март. В действителност затъмнението ще се наблюдава на 3 март. Причината в разминаването е в ексцентрицитета на лунната орбита. Тогава Луната е близо до перигея на своята орбита и се движи съществено по-бързо от средното си движение по небето. Тук е добре да обърнем внимание, че при Лунното затъмнение, и Луната и земната сянка може да са доста далеч от възела на орбитата, поради големия размер на сянката и поради големия видим размер на Земята, гледана от разстоянието на лунната орбита, което позволява наблюдателят да се намира далеч от линията преминаваща през центровете на Слънцето и Земята, което, от своя страна води до съществен паралактичен ефект.

На 17 февруари имаше пръстенообразно слънчево затъмнение. На 3 март пълно лунно затъмнение. Логично е да очакваме след около половин драконична година да има затъмнения. Трябва да се опитаме да определим датата на пълното слънчево затъмнение.

В условието е дадено, че то ще се случи отново в низходящия възел на лунната орбита. Само че този път ще бъде пълно слънчево затъмнение. Това означава, че луната ще се намира пак в низходящия възел, но този път много по-точно. Следователно трябва да изминат цял брой сидерични лунни месеца, като се вземе предвид и насрещното движение на възлите на лунната орбита. Може да очакваме възелът да се премести насрещно с около 10 градуса (1/37 от $360°$; драконичният период е около 18,6 години). Освен това Луната ще бъде в новолуние, т.е. ще изминат нечетен брой половинки синодични лунни месеци. Лесно е да се съобрази, че това ще се случи след 6 сидерични месеци и 5,5 синодични месеца. Тези периоди са равни, съответно на $163{,}9\ \mathrm{d}$ и $162{,}4\ \mathrm{d}$. Вероятно затъмнението ще е след 162 или 163 денонощия. Тръгвайки от 4 март ще стигнем до датата 13 или 14 август. Това отново е по-късно от истинската дата, 12 август. Тук оказа влияние това, че затъмнението е след афелия на земната орбита, което скъсява продължителността на синодичните месеци, поради по-бавното видимо движение на Слънцето по небето, както и това, че тръгнахме с един ден по-късно, поради неточното определяне на датата на лунното затъмнение.

И двете затъмнения ще се случат на фона на съзвездието Лъв.

Критерии за оценяване (общо 12т):

А) 6т

- За построяване на еклиптиката: 1т.

- За определяне на положението на луната в пълнолуние и положението на низходящия възел на лунната орбита: 4т.

- За построяване на проекцията на лунната орбита: 1т.

Б) 2т.

- За определяне на момента на лунното затъмнение: 2т.

В) 3т.

- За правилно определяне на вероятния момент на слънчевото затъмнение: 3т.

Г) 1т.

- За определяне на съзвездието в което ще се случат затъмненията: 1т.