НОА 2026, II кръг (областен), 5–6 клас — Задача 3. Планетна система
XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, областен кръг, възрастова група 5-6 клас · 22 февруари 2026 г. · 12 т.
Условие
Три планети обикалят около звезда. Разполагаме със следната информация за тази планетна система:
- Разстоянието от звездата до втората планета е 3 пъти по-голямо отколкото разстоянието от звездата до първата планета.
- Разстоянието от звездата до третата планета е с 4 астрономически единици по-голямо отколкото разстоянието от звездата до втората планета.
- Разстоянието от звездата до първата планета е с 10 астрономически единици по-малко отколкото разстоянието от звездата до третата планета.
Астрономическата единица (au) е разстоянието Земя-Слънце, което е близо 150 милиона километра.
А) Колко астрономически единици е разстоянието от звездата до всяка от трите планети? Колко е разстоянието до третата планета в километри? [8т.] [8 т.]
Б) Ако насложим мислено Слънчевата система върху тази планетна система в една равнина, така че Слънцето да съвпадне със звездата, то между кои две планетни орбити ще бъде всяка от трите планети? Ще съвпадне ли някоя от трите планети с Главния астероиден пояс? [4т.]
Разстоянията до Слънцето са както следва:
Земя – 1 au, Марс – 1,5 au, Юпитер – 5,2 au, Сатурн – 9,6 au, Уран – 19,2 au. [4 т.]
Отговори
А)
Разстоянията са 3 au (първа планета), 9 au (втора планета) и 13 au (трета планета); третата планета е на 1,95 милиарда километра.
Б) Планета 1 (3 au) е между Марс и Юпитер и попада в Главния астероиден пояс. Планета 2 (9 au) е между Юпитер и Сатурн. Планета 3 (13 au) е между Сатурн и Уран.
Решение
А) Нека да обозначим разстоянието от звездата до първата планета, измерено в астрономически единици, с x.
- Разстоянието от звездата до втората планета е 3 пъти по-голямо отколкото разстоянието от звездата до първата планета, тоест е 3x.
- Разстоянието от звездата до третата планета е с 4 астрономически единици по-голямо отколкото разстоянието от звездата до втората планета, тоест измерено в астрономически единици е 3x + 4.
- Разстоянието от звездата до третата планета е с 10 астрономически единици по-голямо отколкото разстоянието от звездата до първата планета, т.е. измерено в астрономически единици е x + 10.
Оттук съставяме уравнението
Разстоянието от звездата до първата планета е 3 au.
Разстоянието от звездата до втората планета е au.
Разстоянието от звездата до третата планета е au au.
Всички коректни алгебрични методи за получаване на тези стойности се оценяват с максимален брой точки!
Пресметнато в километри, разстоянието до третата планета е
или 1,95 милиарда километра. [8т.]
Б) Ако подредим споменатите в задачата планети по разстоянието до звездата им във възходящ ред, имаме: Земя (1 au), Марс (1,5 au), Планета 1 (3 au), Юпитер (5,2 au), Планета 2 (9 au), Сатурн (9,6 au), Планета 3 (13 au), Уран (19,2 au).
Планета 1 е между Марс и Юпитер и попада в Главния астероиден пояс.
Планета 2 е между Юпитер и Сатурн.
Планета 3 е между Сатурн и Уран. [4т.]
Критерии за оценяване (общо 12 т.):
За правилно пресмятане на разстоянията от звездата до трите планети: 3×2 т. = 6 т.
За правилно пресмятане на разстоянието до третата планета в km: 2 т.
За правилно посочване на взаимните положения на трите планети спрямо насложените орбити на планети от Слънчевата система: 3×1 т. = 3 т.
За отбелязване, че Планета 1 е на същото разстояние от звездата си като Главния астероиден пояс от Слънцето: 1 т.
Оригинал в Архива: 26-II-56.pdf · официални решения: a26-II-56.pdf