Съдържание

НОА 2026, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 1. Звездна астрофизика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, областен кръг, възрастова група 7-8 клас · 22 февруари 2026 г. · 12 т.

Условие

Светимостта на една звезда представлява енергията, която тя излъчва за единица време, във всички посоки, в целия електромагнитен спектър. Ако звездата има радиус R и температура (измервана по скалата на Келвин) T на видимата повърхност (фотосферата), нейната светимост L се пресмята по формулата:

L = 4\pi R^2 \sigma T^{4}

Справочни данни:

Гравитационна константа: $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3 s^{-2} kg^{-1}}$
Константа на Стефан-Болцман: $\sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\ \mathrm{Wm^{-2}K^{-4}}$
Астрономическа единица: $1\ \mathrm{au} = 149{,}6 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$	Маса на Слънцето: $2 \cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето: $700\ 000\ \mathrm{km}$	Температура на Слънцето: $5770\ \mathrm{K}$

А) Колко пъти по-висока светимост има Слънцето от бяло джудже с радиус, 100 пъти по-малък от радиуса на Слънцето, и температура на повърхността, 2 пъти по-висока от тази на Слънцето? [3 т.]

Б) Звездата Бетелгейзе има радиус 3,2 au и температурата на повърхността 3700 K. Астрономическата единица (au) е средното разстояние Земя-Слънце.

Колко слънчеви светимости е светимостта на звездата Бетелгейзе? [4 т.]

В) Ако е известно, че масата на Бетелгейзе е 16 пъти по-голяма от тази на Слънцето, пресметнете средната плътност на Бетелгейзе. [5 т.]

Отговори

Решение

А) Нека с $R_S$ , $T_S$ и $L_S$ да означим радиуса, температура и светимостта на Слънцето, а с $R_D$ , $T_D$ и $L_D$ съответните величини за бялото джудже.

Съгласно дадената в условието формула, търсеното отношение на светимостите е:

\frac{L_S}{L_D} = \left(\frac{R_S}{R_D}\right)^{2}\left(\frac{T_S}{T_D}\right)^{4} = 625

Б) Радиусът на Бетелгейзе изразен в километри е $R_B \approx 479 \cdot 10^{6}\ \mathrm{km}$ .

Нека с $T_B$ да означим нейната температура.

Следователно, търсеното отношение на светимостта на Бетелгейзе ( $L_B$ ) към тази на Слънцето е:

\frac{L_B}{L_S} = \left(\frac{R_B}{R_S}\right)^{2}\left(\frac{T_B}{T_S}\right)^{4} \approx 79\ 000

В) Масата на Бетелгейзе в килограми е: $M_B = 16 \cdot (2 \cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}) = 3{,}2 \cdot 10^{31}\ \mathrm{kg}$ .

Обемът на звездата се изчислява по формулата:

V_B = \frac{4}{3}\pi R_B{}^{3}

Средната плътност е:

\rho = \frac{M_B}{V_B} = \frac{3M_B}{4\pi R_B{}^{3}} \approx 7 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{kg/m^3}

Критерии за оценяване:

А) 3т.

- За правилен израз за търсеното съотношение: 1,5т

- За правилна числена стойност: 1,5т

Б) 4т.

- За изразяване на радиуса на Бетелгейзе в километри: 1т.

- За правилен израз за търсеното съотношение: 1,5т

- За правилна числена стойност: 1,5т

В) 5т.

- За намиране на масата на Бетелгейзе в килограми: 1т.

- За правилно изразяване на обема на Бетелгейзе: 1,5т.

- За правилен израз за средната плътност на Бетелгейзе: 1,5т.

- За правилна числена стойност: 1т.

Оригинал в Архива: 26-II-78.pdf · официални решения: a26-II-78.pdf