НОА 2026, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 2. Пътешествие до Марс

• А) За времето на пътешествието Земята описва ъгъл $\alpha = \frac{258{,}3}{365{,}25}\cdot 360^\circ \approx 255^\circ$, а Марс — ъгъл $\beta = \frac{258{,}3}{687}\cdot 360^\circ \approx 135^\circ$, който се отмерва от $M_2$ в посока обратна на орбиталното движение.
• Б) Земята ще се вижда в края на нощта (рано сутрин, преди изгрева на Слънцето).
• В) Не е добра идея: когато се върнат на земната орбита в точка $T_1$, Земята няма да е там, защото от тръгването им ще е изминало време не по-малко от $2 \times 258{,}3 = 516{,}6$ дни — доста повече от една земна година. Ако продължат по другата половина от елипсата, Марс също няма да е на мястото си, а запасите им от храна, вода и главно кислород ще се свършат.

А) Означаваме с S Слънцето и начертаваме кръговите орбити на Земята и Марс с радиуси в съотношение 1 : 1,52. Отбелязваме с $T_1$ началното положение на Земята.

Щом космическият кораб описва половин елипса с перихелий в точка $T_1$ и афелий на марсианската орбита, то той ще пристигне в точка $M_2$, където трябва да е Марс и тази точка ще лежи на другия край на голямата ос на елиптичната траектория на кораба. За времето на пътешествието Земята ще опише ъгъл:

Отмерваме този ъгъл от началното положение на Земята и нанасяме точка $T_2$, където тя ще бъде при пристигането на кораба на Марс.

От момента на тръгването на кораба от Земята до пристигането му на Марс, планетата Марс трябва да е изминала по своята орбита ъгъл:

Отмерваме този ъгъл от точка $M_2$ в посока обратна на орбиталното движение на Марс и нанасяме точката $M_1$, където той трябва да е бил при стартирането на кораба от Земята.

Б) За марсианския наблюдател Земята е вътрешна планета и около средата на нощта тя по принцип е под хоризонта. На схемата е отбелязана нощната и дневната страна на Марс. Марс се върти около оста си в същата посока, в която обикаля около Слънцето. Ако там въведем посоките изток и запад също както на Земята, то околоосното въртене на Марс ще бъде от запад на изток и следователно в небето на марсианския наблюдател Земята в точка $T_2$ ще е отклонена леко на запад от Слънцето. Това означава, че рано сутрин, преди изгрева на Слънцето тя ще изгрява, а известно време след нея ще изгрява и Слънцето. Така стигаме до извода, че Земята ще се вижда в края на нощта.

В) Ако космонавтите решат да стартират от Марс веднага след пристигането си, то те най-вероятно ще се възползват от орбиталното движение на Марс и с цел икономия на гориво ще тръгнат по другата половина от елипсата, означена с пунктирна линия. За нещастие обаче, когато се върнат на земната орбита в точка $T_1$, Земята няма да бъде там, защото от тръгването им от Земята ще е изминало време не по-малко от $2 \times 258{,}3 = 516{,}6$ дни. Това е доста повече от една земна година. Те могат да продължат да кръжат около Слънцето по другата половина от елипсата, но като стигнат отново до марсианската орбита, Марс няма да е там. Навярно ще се свършат техните запаси от храна и вода, и главно от кислород. Това няма да е никак добре за екипажа.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) 6 т.

За начертаване на планетните орбити в мащаб и отбелязване на началното положение на Земята $T_1$ и положението на Марс при пристигането на кораба $M_2$: 2 т.

За определяне и нанасяне на положението на Земята $T_2$: 2 т.

За определяне и нанасяне на началното положение на Марс $M_1$: 2 т.

Б) 4 т.

За правилен отговор кога ще се вижда Земята: 1 т.

За обяснение на отговора: 3 т.

В) За правилно описание и обяснение какво ще се случи ако космонавтите тръгнат към Земята веднага: 2 т.