НОА 2026, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 5. Двойна планета
XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, областен кръг, възрастова група 7-8 клас · 22 февруари 2026 г. · 12 т.
Условие
Около Скъпоценната звезда по кръгова орбита обикаля система от две планети – Лазурната планета (ЛП) и Изумрудната планета (ИП). Те са еднакви по размери и маса. Планетите се движат по кръгова орбита около общия си център на масите С, както е показано на схемата. Планетите са приливно заключени – винаги са обърнати една към друга с една и съща своя страна. Лазурният град се намира в центъра на онази срана на Лазурната планета, която е обърната към Изумрудната планета. Разстоянието между двете планети е много по-малко от разстоянието от тях до Скъпоценното слънце. Ако условно разделим денонощието на Лазурната планета на 24 часа, то всеки ден в 12 часа жителите на Лазурния град наблюдават затъмнение на своето Скъпоценно слънце от Изумрудната планета.
Орбиталното движение на двойната планета около Скъпоценното слънце, движението на двете планети една около друга и околоосното им въртене са в една и съща посока.
А) Всяка нощ в 0 часа жителите на Лазурния град наблюдават друго интересно явление, свързано с Изумрудната планета. Какво е то? [3 т.]
Б) Ако си послужим с аналогия на нашите лунни фази, то в каква фаза ще се наблюдава Изумрудната планета от жителите на Лазурния град в 6 часа? А в 18 часа? А в какви фази в същите тези моменти ще наблюдават Лазурната планета жителите на Изумрудната планета?
Обяснете вашите отговори и ги илюстрирайте с подходящи схеми. [5 т.]
В) Астрономите от Лазурната планета с особен интерес изследват далечната и красива галактика Брилянт. Времето между два изгрева на тази галактика е с 30 минути по кратко от денонощието на Лазурната планета (времето между два изгрева на Скъпоценното слънце). Колко денонощия продължава годината за жителите на Лазурната планета? [4 т.]
Отговори
- А) В 0 часа те наблюдават затъмнение на Изумрудната планета – тя попада в сянката на Лазурната планета.
- Б) В 6 часа: за жителите на Лазурния град Изумрудната планета е във фаза последна четвърт (аналог на стареещата Луна), а за жителите на Изумрудната планета Лазурната планета е във фаза първа четвърт. В 18 часа: Изумрудната планета се вижда във фаза първа четвърт (аналог на растящата Луна), а Лазурната планета се вижда от Изумрудната планета във фаза последна четвърт.
- В)
Решение
А) Щом двете планети са приливно заключени, то за всяка от тях орбитлният период на движение около центъра на масите е равен на периода на околоосно въртене. На Фиг.1 са показани положенията на двете планети в момента, когато за Лазурния град (огбелязан с черно ромбче) на Лазурната планета е 12 ч. Вижда се, че тогава за жителите на Лазурния град Изумрудната планета закрива Скъпоценното слънце, хвърля своята сянка върху Лазурната планета и там и се наблюдава слънчево затъмнение.
На Фиг. 2 са показани положенията на двете планети, когато за Лазурния град е 0 ч. Вижда се, че тогава неговите жители ще наблюдават затъмнение на Изумрудната планета в сянката на Лазурната планета.
Б) На Фиг. 3 са показани положенията на планетите, когато за Лазурния град е 6 ч. Тогава за жителите на Лазурната планета Изумрудната планета е във фаза последна четвърт. Шест часа по-късно тя ще бъде обърната към Лазурната планета изцяло с тъмната си страна, което значи, че фазата е подобна на фазата на стареещата Луна за земните жители. За жителите на Изумрудната планета Лазурната планета е във фаза първа четвърт.
На Фиг. 4 са показани положенията на планетите, когато за Лазурния град е 18 h. Тогава жителите на Лазурната планета ще виждат Изумрудната планета във фаза първа четвърт. Шест часа по-късно Изумрудната планета ще бъде обърната към Лазурната планета изцяло с осветената си страна и това означава, че тя е във фаза подобна на растящата Луна за нас. Жителите на Изумрудната планета ще виждат Лазурната планета във фаза последна четвърт.
В) Времето между два изгрева на галактиката Брилянт трябва да е равно на звездното денонощие за Лазурната планета, а времето между два изгрева на Скъпоценното слънце – на слънчевото денонощие . Ако означим с годината на Лазурната планета, или периода на обикаляне на двойната планета около Скъпоценното слънце, то в сила са съотношенията:
От тези две уравнения получаваме:
Годината на Лазурната планета се състои от 47 слънчеви денонощия.
Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) За верен отговор какво явление се наблюдава в 0h, обяснение и схема – 3 т.
Б) 5 т.
За правилен отговор какви фази се наблюдават в 6h, обяснение и схема – 2,5 т.
За правилен отговор какви фази се наблюдават в 18h, обяснение и схема – 2,5 т.
В) 4 т.
За правилен начин на пресмятане – 3 т.
За верен числен отговор – 1 т.
Оригинал в Архива: 26-II-78.pdf · официални решения: a26-II-78.pdf