НОА 2026, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 4. Нова година

• А) $d = \frac{3}{24}L = \frac{L}{8} \approx 5\ 009\ \mathrm{km}$

• Б) 8:56 ч на 1 април 2026 г. по поясното време на летище А (полетът трае $t = d/v \approx$ 9h 26min; кацане в 5:56 по поясното време на летище В, плюс 3 часа часова разлика).

  Времето на полет $t = d/v \approx 9\ \mathrm{h}\ 26\ \mathrm{min}$.

• В) $v \in (0;278) \cup (417;1252) \cup (2505;4174)\ \mathrm{km/h}$

  Ширината на един часови пояс на екватора е $s = \frac{2\pi R_3}{24} \approx 1\ 670\ \mathrm{km}$.

А) Нека да означим радиуса на Земята с $R_E$. Обиколката на екватора е:

Понеже часовата разлика между двата града е 3 часа и те се намират на централните меридиани на своите часови пояси, то разстоянието между тях е:

Б) Нека с v да означим скоростта на самолета.

Времето, за което той ще измине разстоянието между двата града е:

Следователно, самолетът ще кацне на летище А в 5:56 на 1 април 2026 г. по времето на часовата зона, в която се намира летище В. Тъй като летище А е разположено в източна посока спрямо летище В, то трябва да добавим часовата разлика от 3 часа и самолетът ще кацне в 8:56 на 1 април по поясно време.

В) На схемата са показани часовите зони, в които се намират летища А и В, а също тези, които са между тях. Нека означим часовата зона, в която се намира летище В с 1, следващите две в посока изток с 2 и 3, а часовата зона в която е летище А с 4.

Понеже приемаме, че земното кълбо е разделено на 24 еднакви часови зони, всяка една от тях заема 1/24 част от екватора или 15° по дължина. Следователно, ширината (разстоянието между най-западната и най-източната точка) на една часова зона е:

Пътниците биха могли да посрещнат Нова година във по поясното време на часови зони 1, 2 или 3. За съжаление, няма как да направят това в зона 4, защото в момента на излитане, поясното време за летище А вече е 0:00 и новата година там вече е настъпила. Нека да пресметнем с какви скорости би могъл да лети самолетът, за да успеят пътниците в него да посрещнат Нова година във всяка една от първите три часови зони.

• Зона 1 (часовата зона на летище В): В тази часова зона моментът 0:00 по поясно време ще настъпи след интервал от време $\Delta t_1 = 3\mathrm{h}$ от излитането на самолета. Ако пътниците желаят да я посрещнат именно в зона 1, то самолетът трябва за това време да прелети разстояние не по-голямо от $s/2$. Следователно, за неговата скорост v може да се запише следното неравенство:

Разбира се, това е прекалено ниска скорост за пътнически самолет ☺.

• Зона 2: По поясното време на тази часова зона новата година ще настъпи когато в часовата зона на летище В е 23:00ч или време $\Delta t_2 = 2\ \mathrm{h}$ след излитането на самолета. За да бъде самолетът в рамките на зона 2 в този момент, то за това време той трябва да е прелетял разстояние не по-малко от $s/2$ (за да е навлязъл в нея) и не по-голямо от $3s/2$ (за да не я е напуснал).

От тук следва, че скоростта на този самолет трябва да изпълнява следното условие:

След пресмятане получаваме:

• Зона 3: В зона 3, моментът в който новата година ще започне съответства на 22:00 по поясното време на летище В, което е интервал от време $\Delta t_3 = 1\ \mathrm{h}$ след момента на излитане. Аналогично на предходния случай, ако пътниците желаят да празнуват Нова година тук, то за това време самолетът трябва да е изминал разстояние не по-малко от $3s/2$ (за да е навлязъл в нея) и не по-голямо от $5s/2$ (за да не я е напуснал).

В този случай, скоростта му трябва да удовлетворява:

След изчисления:

Това е значително повече от обичайните скорости на пътническите самолети в днешно време ☺.

Ако самолетът се движи със скорост, която не принадлежи на никой от трите получени интервала, то пътниците ще пропуснат момента 0:00, тъй като в условието на задачата е казано, че те могат да посрещат Нова година само по поясно време на часовия пояс в който се намират!

Отговор: $v \in (0; 278) \cup (417; 1252) \cup (2505; 4174)\ \mathrm{km/h}$

Критерии за оценяване:

А) 2т.

- За намиране на обиколката на екватора на Земята в километри: 1 т

- За съобразяване на това, че разстоянието между двете летища е 1/8 от дължината на екватора и правилна числена стойност: 1т

Б) 4т.

- За изразяване на времето за полет: 1т.

- За правилна числена стойност: 1т

- За пресмятане на момента на кацане по поясното време на летище В: 1т

- За намиране на този момент по поясното време на летище А: 1т

В) 6т.

- За правилна обща представа за ситуацията (правилна схема и т.н.): 1т.

- За правилен извод, че пътниците няма как да посрещнат Нова година в часовия пояс на летище А: 0,5т.

- За правилни буквени изрази за всеки един от интервалите, в които скоростта на самолета би могла да принадлежи: 1,5т.