Съдържание

НОА 2026, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Двойни звезди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, Национален кръг, Бургас, възрастова група 11-12 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

Когато се наблюдава двойна звездна система, при която двете компоненти могат да се различат поотделно, едната компонента, която тук ще означим като A, се приема за неподвижна и се нанасят видимите положения на другата компонента B относно компонентата A. Чрез многократни такива наблюдения в продължителен интервал от време може да се построи относителната орбита на компонентата B спрямо компонентата A. Това, което се получава обаче, е проекцията на тази орбита върху равнина, перпендикулярна на зрителния лъч от земния наблюдател към двойната система. Ще наричаме тази равнина картинна плоскост.

Дадени са ви проекциите на относителните орбити на две двойни звезди, получени от наблюдения – Порима от съзвездието Дева (γ Vir) на Фиг. 1 и HIP 85565 от съзвездието Змия на Фиг. 2.

Диаграма с елипса и облак от наблюдателни точки в координати дъгови секунди; кръстче в близост до фокуса. — Фиг. 1 към задача 1. Проекция на относителната орбита на Порима (γ Vir); осите са в дъгови секунди, компонентата A е отбелязана с кръстче.

Силно сплесната елипса с нанесени наблюдения и звездичка в средата, в координати дъгови секунди. — Фиг. 2 към задача 1. Проекция на относителната орбита на HIP 85565; осите са в дъгови секунди, компонентата A е означена със звездичка, отбелязани са епохи 1938.5, 1991.25, 2009.3 и 2024.2.

А) Звездата Порима (γ Vir) е с паралакс 85,58 mas (milliarcseconds – хилядни от дъговата секунда). Орбиталният период на двойната система е 169,4 години. Приемете, че орбиталната равнина на двете звезди е перпендикулярна на зрителния лъч, т.е. лежи в картинната плоскост. Компонентата A е отбелязана с кръстче. Определете голямата полуос на относителната орбита в астрономически единици и сумата от масите на двете звезди в слънчеви маси. [6 т.]

Б) Звездата HIP 85565 е с паралакс 19,96 mas. Орбиталният период на системата е 94 години. Тук наистина трябва да имате предвид, че виждате проекцията на относителната орбита върху картинната плоскост, в която положението на компонентата A е означено със звездичка. Определете приблизително ексцентрицитета на истинската относителна орбита, голямата полуос в астрономически единици и наклона на истинската относителна орбита към картинната плоскост. Намерете също и сумата от масите на двете компоненти в слънчеви маси. [8 т.]

Отговори

Решение

А) Измерваме мащаба на двете оси и получаваме, че $4''$ , отчетени по скалите на изображението на Фиг. 1, отговарят на 91 mm. Измерваме голямата ос на относителната орбита и тя се оказва равна на 145 mm. Видимият ъглов размер на голямата полуос на относителната орбита ще бъде:

\alpha = \frac{1}{2}\cdot\frac{4''}{91\ \mathrm{mm}}\cdot 145\ \mathrm{mm} \approx 3''{,}187

Паралаксът на звездата е $p = 0''{,}08558$ . Това означава, че линейна отсечка с дължина 1 астрономическа единица при тази двойна система ще се вижда от земния наблюдател под ъгъл, равен на паралакса. Следователно можем да намерим голямата полуос на орбитата в астрономически единици:

a = \frac{\alpha''}{p''} \approx 37{,}24\ \mathrm{au}

За да намерим сумата от масите на двете компоненти $M_A + M_B$ в слънчеви маси, ако изразим голямата полуос в астрономически единици, а орбиталния период в години, можем да напишем третия закон на Кеплер в следния вид:

M_A + M_B = \frac{a^3}{T^2}

Заместваме стойностите и получаваме:

M_A + M_B \approx 1{,}8\ \text{слънчеви маси}

Този резултат се различава значително от действителната стойност (която е приблизително 2,86 слънчеви маси), тъй като тук не беше отчетен наклонът на орбиталната равнина на двойната система към картинната плоскост, който е $30°$ , нито ориентацията на осите на елиптичната орбита спрямо посоката на наклона. За пресмятанията ние използвахме проекцията на действителната голяма полуос на орбитата. Проекцията е по-малка от истинската голяма полуос. Така ние подценихме и сумата от масите на компонентите. Следователно полученият от нас резултат при неизвестен наклон на орбитата може да се счита само за минимална долна граница на сумата от масите на звездите.

Б) Чрез измервания се убеждаваме, че положението на компонентата A, отбелязано със звездичка, лежи почти точно върху малката ос на симетрия на проектираната относителна орбита, но е отместено спрямо центъра на тази малка ос. Това означава, че малката ос на истинската относителна орбита е перпендикулярна на зрителния лъч от земния наблюдател и представлява голямата ос на проектираната елипса. Спрямо картинната плоскост истинската относителна орбита е завъртяна на определен ъгъл $i$ около ос, съвпадаща с малката ос на истинската елипса. Малката ос на проектираната елипса е проекция на голямата ос на истинската относителна орбита. Крайщата на малката ос на проектираната елипса са проекции на перицентъра и апоцентъра на истинската относителна орбита. Измерването показва, че дължината на малката ос на проектираната елипса е 19 mm, а разстоянията от звездата A до нейните крайни точки са 7 mm и 12 mm. При проекцията върху плоскост съотношенията между дължините на отсечките се запазват. Следователно за разстоянията $r_p$ и $r_a$ от звездата B до звездата A в перицентъра и в апоцентъра на истинската орбита и нейната голяма полуос $a$ можем да напишем:

\frac{r_p}{r_a} = \frac{7}{12}

\frac{r_a}{a} = \frac{12}{19/2} \approx 1{,}263

Оттук можем да намерим ексцентрицитета $e$ на истинската орбита:

\frac{r_a}{a} = \frac{a(1+e)}{a} = 1 + e

e \approx 1 + \frac{r_a}{a} = 0{,}263

Ексцентрицитетът на истинската орбита може да се представи и така:

e = \frac{f}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}

където $f$ е фокусното разстояние на елипсата, а $b$ е нейната малка полуос. Оттук получаваме:

a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}}

Измерванията на Фиг. 2 показват, че по осите на диаграмата 1,2 дъгови секунди отговарят на 103,5 mm, а голямата ос на проектираната елипса е с дължина 97 mm. Следователно видимият ъглов размер на голямата полуос на елипсата е:

\beta = \frac{1}{2}\cdot\frac{1{,}2''}{103{,}5\ \mathrm{mm}}\cdot 97\ \mathrm{mm} \approx 0{,}562''

Паралаксът на двойната звезда е $p = 0{,}01996''$ . Малката полуос на действителната елипса в астрономически единици ще бъде:

b = \frac{\beta}{p} \approx 28{,}16\ \mathrm{au}

Оттук по изведената от нас по-горе формула намираме голямата полуос в астрономически единици:

a \approx 29{,}18\ \mathrm{au}

Като знаем орбиталния период $T$ на системата в години от третия закон на Кеплер можем да пресметнем сумата от масите на двете компоненти:

M_A + M_B = \frac{a^3}{T^2}

M_A + M_B \approx 2{,}81\ \text{слънчеви маси}

Получената оценка е близка до цитирания в астрономическата литература резултат, който е 2,7 слънчеви маси.

От ъгловия мащаб на изображението, който определихме, можем да пресметнем видимия ъглов размер на проекцията на голямата полуос на относителната орбита:

\alpha' = \frac{1}{2}\cdot\frac{1{,}2''}{103{,}5\ \mathrm{mm}}\cdot 19\ \mathrm{mm} \approx 0{,}110''

Ако голямата полуос на истинската относителна орбита беше перпендикулярна на зрителния лъч от земния наблюдател, нейната видима ъглова дължина можем да намерим, като умножим дължината ѝ в астрономически единици по паралакса в дъгови секунди:

\alpha = a(\text{в астр. единици}) \cdot p \approx 0{,}582''

За ъгъла $i$ , на който е наклонена равнината на истинската относителна орбита към картинната плоскост, можем да напишем:

\cos i = \frac{\alpha'}{\alpha}

i \approx 79°

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

А) 6 т.
За измервания, определяне на ъгловия мащаб и намиране на голямата полуос на орбитата – 4 т.
За определяне на сумата от масите на звездите – 2 т.

Б) 8 т.
За правилни разсъждения относно ориентацията на истинската орбита спрямо картинната плоскост – 1 т.
За определяне на ексцентрицитета – 2 т.
За определяне на голямата полуос на истинската орбита – 2 т.
За определяне на сумата от масите на двете звезди – 1 т.
За намиране на наклона на орбитата – 2 т.

Оригинал в Архива: 26-III-1112.pdf · официални решения: a26-III-1112.pdf