НОА 2026, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 3. На непозната планета

• А) $c = 2\pi R = \left(\frac{360°}{3{,}5°}\right) 600\ \mathrm{km} = 61714\ \mathrm{km} \Rightarrow R = 9822\ \mathrm{km}$

• Б) $T_D = (360/45)\cdot(8\ \mathrm{h}) = 64\ \mathrm{h}$

• В) $t_3 = 32\ \mathrm{h} - 8\ \mathrm{h} = 24\ \mathrm{h},\qquad h = 3 \cdot 3{,}5° = 10{,}5°$

  Втората търсена величина е височината на Полярната звезда: $h = 10{,}5°$.

• Г) $v_E = \frac{2\pi R}{T} = 1029\ \mathrm{km/h} = 286\ \mathrm{m/s}$

• Д) $T_Y = \frac{T_D T}{T_D - T} = 960\ \mathrm{h} = 40\ \mathrm{d}$

А) и Б) Пътуваме с една и съща скорост 4 часа на изток и после 4 часа на запад. Оказваме се на същото положение както в началото. Слънцето се е издигнало с $26 + 19 = 45$ градуса. Екваторът на планетата няма наклон спрямо равнината на орбитата ѝ. Следователно Слънцето винаги лежи на небесния екватор и за наблюдател на екватора на планетата Слънцето ще изгрява точно от изток и ще се вдига право нагоре до зенита, след която ще пада право надолу към точката запад. Следователно, за 8 часа планетата се е завъртяла с 45 градуса спрямо направлението към Слънцето. Слънчевото денонощие е времето, за което това завъртане е 360 градуса. То ще бъде $T_D = (360/45)\cdot(8\ \mathrm{h}) = 64\ \mathrm{h}$.

Само за 4 часа Слънцето ще се завърти по небето с $22{,}5°$. Обаче се движим със скорост 150 km/h, т.е. сме изминали $4\cdot150 = 600$ km на изток по екватора и Слънцето се е завъртяло с $26°$, или $3{,}5°$ повече. Това е, защото сме изминали $3{,}5°$ по земния екватор. Ако 600 km са $3{,}5°$ по екватора, то обиколката на планетата е

Оттук радиусът на планетата е $R = 9822$ km.

В) На екватора денят е равен на нощта, т.е. ще имаме $64/2 = 32$ часа от изгрев до залез. Пътували сме 8 часа и трябва да изчакаме още $t_3 = 24$ h.

За 12 часа с планетохода ще изминем 1800 km, което е 3 пъти по-голямо разстояние от изминатото по екватора. Следователно и ъгловата му мярка по меридиана ще е 3 пъти по-голяма, т.е. ще повишим планетографската си ширина с $3\cdot3{,}5° = 10{,}5°$. В началото, на екватора, Полярната звезда е на нулева височина. Височината, до която се издига с повишаване на ширината ще е $h = 10{,}5°$.

Г) Времето, за което звездите правят цял оборот по небето и се връщат в начално положение, е ротационният период на планетата $T = 60$ h. Поради околоосното въртене точка от екватора на планетата се движи със скорост

Д) Връзката между слънчевото денонощие $T_D$, ротационният период $T$ и годината (орбиталният период) $T_Y$ е:

Оттук получаваме

Това са 40 земни дни. В слънчеви денонощия на планетата получаваме $15T_D$.

Критерии за оценяване (общо 14т.):

• А) 3т. за пресмятане на радиуса на планетата
• Б) 3т. за пресмятане на слънчевото денонощие
• В) 3т.: 1,5 т. за пресмятане на $t_3$ + 1,5т. за пресмятане на $h$
• Г) 2т. за пресмятане на скоростта на екватора
• Д) 3т. за пресмятане на годината на планетата