НОА 2026, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 2. Приятели

• А) $H_M = H\cdot\frac{g}{g_M} \approx 2{,}64H \approx 40\ \mathrm{m} \approx 13\ \text{етажа}$

  Не — топката би стигнала до около 13-ия етаж, а не до 50-ия.

• Б) $\frac{E_0}{E_{0M}} = \frac{r_M^{\,2}}{r^2} \approx 2{,}31$

  Не — осветяването на Марс е около 2,3–2,5 пъти по-слабо (в афелий $E_0/E_{0M}\approx 2{,}53$), а не 5 пъти, както предполага Мишо.

• В) $\frac{E_{MT}}{E_{JT}} = \frac{A_M}{A_J}\cdot\frac{R_M{}^2}{R_J{}^2}\cdot\frac{r_J{}^2}{r_M^{\,2}(1-e)^2}\cdot\frac{\left(r_J-r\right)^2}{\left[r_M(1-e)-r\right]^2} \approx 1{,}278$

  Отношението е по-голямо от единица, следователно твърдението на Гошо е вярно.

А) Нека означим с $v_0$ началната скорост, с която Гошо ритва своята топка нагоре от земната повърхнаст, с $H$ максималната височина, до която достига топката и с $t$ времето, за което топката се издига на тази максимална височина. За височината можем да напишем:

където $g$ е земното ускорение. В най-високата точка на полета скоростта на топката става равна на нула, следователно:

Изключваме времето $t$ от тези две уравнения и получаваме:

Да приемем, че на Марс Мишо може да ритне нагоре същата топка със същата начална скорост $v_0$, както Гошо на Земята. Тогава височината, до която тя ще стигне, ще бъде:

където $g_M$ е ускорението на силата на тежестта на Марс. От последните две равенства намираме:

Наистина, едва ли Мишо ще може да ритне топката на Марс до 50-тия етаж на някое здание в някой марсиански град.

Б) Осветеността $E_0$, която Слънцето създава на Земята и осветеността $E_{0M}$, която то съзвава на Марс, са в следното съотношение:

Ако приемем, че $r = 1$ au, а $r_M$ е следното разстояние от Марс до Слънцето (голямата полуос на марсианската орбита), то:

Да пресметнем това съотношение в най-неблагоприятния случай – когато Марс е в афелия на своята орбита. Тогава разстоянието от Марс до Слънцето ще бъде равно на $r_M(1 + e)$, където $e$ е ексцентрицитетът на марсианската орбита. За този случай получаваме:

Действително, на Марс осветяването от Слънцето е около 2,3 – 2,5 пъти по-слабо, отколкото на Земята, но не и 5 пъти, както предполага Мишо.

В) Означаваме с $L$ светимостта на Слънцето, с $E_M$ и $E_J$ осветеностите, които Слънцето създава на Марс във велико противостояние и на Юпитер, а с $r_J$ разстоянието от Юпитер до Слънцето.

Нека $R_M$ и $R_J$ са радиусите на Марс и Юпитер, а $A_M$ и $A_J$ са отражателните способности (албедото) на двете планети. Общото количество лъчиста енергия от Слънцето, което попада за единица време върху Марс и ще се отразява към Земята, ще бъде пропорционално на площта на напречното сечение на планетата и на нейното албедо:

Аналогично за Юпитер:

Осветеността, която Марс във велико противостояние създава на Земята, ще бъде пропорционална на тази енергия и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между Марс и Земята в такъв момент:

За осветеността, която Юпитер в противостояние ще създава върху Земята, можем да напишем:

Навсякъде тук си служим със знак за пропорционалност, тъй като не са известни точните коефициенти. Но крайната ни цел е да пресметнем отношението на тези две осветености. При това коефициентите ще се съкратят и можем вече да поставим знак за равенство:

Оттук накрая получаваме:

Вижда се, че полученото съотношение е по-голямо от единица и твърдението на Гошо наистина е вярно – при опозиция на Марс във велико протизостояние той може да е по-ярък за земния наблюдател от Юпитер в опозиция.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

А) 5 т.

За съставяне на приблизителен модел на ситуацията (предположението, че на Марс топката ще бъде ритната със същата начална скорост) – 2 т.

За формули и алгебрични пресмятания – 2 т.

За верен краен резултат и заключение – 1 т.

Б) 3 т.

За формули и алгебрични пресмятания – 2 т.

За верен числен резултат и краен извод – 1 т.

В) 6 т.

За отчитане на осветеността, създавана от Слънцето на Марс и Юпитер – 1 т.

За отчитане на влиянието на албедото – 1 т.

За отчитане на размерите на Марс и Юпитер – 1 т.

За отчитане на разстоянията на Марс и Юпитер в опозиция до Земята – 1 т.

За алгебрични преобразования, правилен числен резултат и краен извод – 2 т.