НОА 2026, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 4. Юпитер и Сатурн

• А) $\Omega = \sqrt{\left(\Delta\alpha\cdot\cos(\delta)\right)^2 + (\Delta\delta)^2} \approx 6'31''$ ≈ $6.52$ arcmin

  $6'31'' = 6{,}52'$. Допустимо е и просто $\Omega \approx \Delta\delta = 6'\,27''$, ако са приведени аргументи.

• Б) 17 август 2021 г. за Юпитер и 1 август 2021 г. за Сатурн (истинските дати са 20 август 2021 г. за Юпитер и 2 август 2021 г. за Сатурн).

  Получено от $\Delta t_\text{Ю} \approx 239$ d и $\Delta t_\text{С} \approx 223$ d след 21 декември 2020 г. В отпечатаните формули множителят $T_{SYN}$ липсва, но числените стойности отговарят на $\frac{360°-\alpha}{360°}T_{SYN}$.

• В) $t = \frac{1° - \Omega}{\omega} \approx 10{,}7\ \mathrm{d}$

А) За намиране на ъгловото отстояние между Юпитер и Сатурн можем да използваме равнинна геометрия, защото техните координати са много близки и това отстояние е много малко (в рамките на няколко дъгови минути).

От таблицата виждаме, че деклинациите на Юпитер и Сатурн се различават с $\Delta\delta = 6'\ 27''$. Разликата на ректасцензиите на двете планети е $\Delta\alpha = 3{,}8^\mathrm{s} \approx 0{,}95'$ (Тук не отчитаме корекцията за това, че те не се намират на небесния екватор).

Използвайки равнинното приближение, за търсеното ъглово отстояние можем да запишем:

Тук $\delta$ е приблизителната стойностна деклинацията на Юпитер и Сатурн.

След пресмятане, намираме:

Както се вижда, разликата между $\Delta\delta$ и $\Omega$ е съвсем малка, поради съвсем близките ректасцензии на планетите. Поради това е напълно допустимо да се запише, че $\Omega \approx \Delta\delta$ дори и без да се правят изчисления. Ако това е направено и са приведени аргументи в подкрепа на това твърдение, следва да се присъди максималният брой точки на това подусловие.

Нека въведем следните означения, които ще бъдат използвани в решенията на следващите две подусловия:

$r_\text{З}$ – радиус на орбитата на Земята

$r_S$ – радиус на орбитата на Сатурн

$r_J$ – радиус на орбитата на Юпитер

$T_E$ – орбитален период на Земята

$T_S$ – орбитален период на Сатурн

$T_J$ – орбитален период на Юпитер

$V_E$ – орбитална скорост на Земята

$V_S$ – орбитална скорост на Сатурн

$V_J$ – орбитална скорост на Юпитер

Б) Датата на съединението е 21 декември. Това е на практика датата на декемврийското слънцестоене. Това означава, че екваториалните координати на Слънцето в този момент, в много добро приближение, са: $\alpha_S = 18h$; $\delta_S = -23°\ 26'$.

Ректасцензията на Юпитер и Сатурн е приблизително равна на 20h. Това означава, че те се намират на около 2 часа или 30° източно по еклиптиката, спрямо Слънцето (не се изисква по-точна оценка за елонгациите на планетите в този момент). При това положение, те имат вечерна видимост и следващата основна конфигурация, относно Земята, в която ще бъдат е съединение със Слънцето.

За да намерим колко време е изминало от този момент до момента на следващото противостоене на всеки един от тях, трябва първо да намерим ъглите $\alpha_\text{Ю}$ и $\alpha_\text{С}$ чиито връх е в Слънцето, както е показано на чертежа.

От синусовата теорема можем да запишем следните равенства:

От тук намираме, че:

Следователно:

Използвайки III закон на Кеплер, за орбиталните периоди на Юпитер и на Сатурн можем да запишем:

Пресмятаме, че: $T_\text{Ю} \approx 11{,}86$ г: и $T_\text{С} \approx 30{,}68$ г

За съответните синодични периоди $T_{SYN,\text{Ю}}$ и $T_{SYN,\text{С}}$ са в сила равенствата:

От тук:

Понеже предстои двете планети да бъдат в съединение със Слънцето, то интервалите от време, след които ще настъпят следващите им противостояния са:

Съответни дати са следните: 17 август 2021г за Юпитер и 1 август 2021г. за Сатурн.

Истинските дати са: 20 август 2021г за Юпитер и 2 август 2021г. за Сатурн.

В) За да намерим търсеното време, първо трябва да изразим относителната ъглова скорост на Юпитер, спрямо Сатурн, за наблюдател от Земята – $\omega$.

Орбиталните скорости на Юпитер и на Сатурн са, както следва:

Нека с $X_\text{Ю}$ и $X_\text{С}$ да означим съответно разстоянията от Земята до Юпитер и от Земята до Сатурн.

От косинусовата теорема следва, че:

След пресмятане, намираме, че:

От чертежа се вижда, че компонентите на скоростите на Юпитер и Сатурн, които са перпендикулярни на отсечките, които ги свързват със Земята могат да се изразят по следния начин:

За да намерим видимите им ъглови скорости за земния наблюдател, трябва да отчетем и движението на Земята по нейната орбита.

Орбиталната скорост на Земята е:

Компонентата на земната скорост, която е перпендикулярна на направлението към Юпитер и Сатурн (приемайки, че те лежат практически на една права линия с нашата планета) е:

Видимите ъглови скорости на Юпитер и Сатурн за земния наблюдател са:

Тъй като двете планети видимо се движат в една и съща посока на фона на звездите, то относителната им ъглова скорост е:

Тъй като първоначално те имат ъглово отстояние $\Omega$, то времето, за което видимо ще се раздалечат на $1°$ е:

Критерии за оценяване (общо 14т.):

А) 3т

- За правилен метод, по който се намира ъгловото отстояние между Юпитер и Сатурн (аргументирани и основателно използвани приближения) – 2т.

- За правилен числен резултат – 1т.

Б) 5т

- За правилно съобразени координати на Слънцето – 0,5т

- За правилна оценка на ъгловото отстояние между Слънцето и Юпитер и Сатурн – 0,5т

- За правилен метод за намиране на ъгъла с връх в Слънцето и верни числени резултати – 2т.

- За пресмятане на синодичните периоди на Юпитер и Сатурн – 1т.

- За правилен израз за търсените интервали от време и верни числени стойности – 1т.

В) 6т

- За намиране на орбиталните скорости на Юпитер и Сатурн – 1т.

- За намиране на разстоянията до тях на 21 декември 2020г. – 2т.

- За изразяване на перпендикулярните компоненти на скоростите на Юпитер и Сатурн и верни числени резултати – 1т.

- За правилно изразяване на видимите ъглови скорости – 1т.

- За правилно изразяване на търсения интервал от време и вярна числена стойност – 1т.