Съдържание

НОА 2026, Купа „Урания“ — Задача 2. Приключенията на капитан Апостолов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Купа „Урания“ 2026 г. · 17 т.

Условие

Русенският капитан Преслав Апостолов пътува из космоса със своя междузвезден кораб и се оказва в най-различни ситуации, посещавайки различни звездни системи. В тази задача ще ви разкажем за три от тях, свързани със звездни системи, кръстени на откривателите си – приятели на капитан Апостолов от ученическите му години.

А) Веднъж капитан Апостолов посетил със своя кораб планета около малката звезда Нихат-23 с маса 0,34 слънчеви и останал там цяла година. Планетата обикаляла около Нихат-23 по кръгова орбита с период 56,0 d. Там той разпознал по небето своето родно Слънце, както и звездата Регул ( $\lambda = 149{,}0°$ , $\beta = 0{,}5°$ от Земята), и започнал редовни астрономически наблюдения с портативната си обсерватория. Той забелязал, че по небето на Нихат-23 Регул се намира много близо до малка галактика, която за Земята е почти точно в точката на есенно равноденствие. Той измерил, че годишният паралакс на Слънцето е 12,3 mas.

Каква е била видимата звездна величина на Регул по небето на Нихат-23, ако на земното небе е 1,40 mag? Разстоянието Слънце-Регул е 24,30 pc.
На коя дата Слънцето покрива Нихат-23 за земен наблюдател?
Капитан Апостолов отлетял в посока обратна на Регул с постоянна скорост от хиляди километри в секунда в търсене на нови приключения и влязъл в криостаза. Инструментите на борда периодично измервали собственото движение и лъчевата скорост на Слънцето. В даден момент бордовият компютър показал лъчева скорост на Слънцето с 30% по-висока от началната. С колко процента се е било понижило собственото движение на Слънцето? [8 т.]

Б) Веднъж капитан Апостолов се движел със своя кораб с изключени двигатели в орбита около звездата от Главната последователност Марина-37. Използвайки спектрографа на борда, той забелязал странно явление: същестувала друга, далечна звезда, такава, че сумата от радиалните скорости на Марина-37 и на далечната звезда, засечени от кораба, винаги давала една и съща стойност. Капитан Апостолов измерил с бордовия фотометър и записал лъчистия поток от Марина-37 в момент 1. След известно време, в момент 2, капитан Апостолов направил ново измерване и забелязал, че лъчистият поток от Марина-37 се е повишил с точно 37% спрямо момент 1, а орбиталната скорост на кораба се е повишила с точно 3,7 km/s спрямо момент 1. Ако в момент 2 лъчистият поток, измерен от кап. Апостолов е бил точно равен на потока, който Слънцето създава на Земята, то:

изчислете орбиталната скорост на кораба в момент 2
оценете масата, светимостта и спектралния клас на звездата Марина-37 [6 т.]

В) Веднъж капитан Апостолов избирал коя е следващата звездна система, която ще посети. Започнал да изследва системата Виктор-09, намираща се на няколко парсека от него. Изчисленията му показали, че за да влезе в кръгова орбита около Виктор-09 с радиус на орбитата 100 радиуса на звездата, скоростта на кораба му спрямо звездата трябва да бъде 60 km/s. Капитан Апостолов веднага се отказал да доближава тази звезда. Защо? [3 т.]

Отговори

Решение

Решение:

А) Пресмятаме радиуса на орбитата около Нихат-23 по III закон на Кеплер

r = (MT^2)^{1/3} = 0{,}20\ \mathrm{au}

Радиусът на орбитата е 5 пъти по-малък от земния, затова и паралаксите на звездите ще са 5 пъти по-малки, отколкото, ако ги гледахме от Земята при същото разстояние. Разстоянието до Слънцето в парсеци е:

r_{SN} = \frac{0{,}2}{p_S''} = 16{,}26\ \mathrm{pc}

Чертеж с точки S, R, N₁ и N₂ по вертикална права, отсечки от S към R, N₁ и N₂, стрелка v надолу и ъгъл θ при N₂. — Взаимното разположение на Слънцето (S), Регул (R) и двата възможни варианта за Нихат-23 (N₁ и N₂); показани са разстоянието r, ъгълът θ и посоката на скоростта v на кораба.

Взаимното разположение на звездите е показано на чертежа. Точката на есенното равноденствие е нагоре, т.е. координати (0,0) по земното небе са право надолу. Трите звезди трябва да лежат приблизително в равнината на еклиптиката, защото SR и RN₁ са в нея. Еклиптичната дължина на Регул е $\lambda = 149{,}0°$ . Ъгъл R трябва да бъде $180° - \lambda = 31{,}0°$ . Решаваме триъгълника Слънце (S) – Нихат – Регул (R) със синусова и косинусова теореми, но има два варианта, обозначени на чертежа с N₁ и N₂. В единия вариант получаваме разстояние до Регул

r_{RN} = RN_1 = 10{,}44\ \mathrm{au}

r_{RN} = RN_2 = 31{,}22\ \mathrm{au}

По формулата на Погсън намираме звездната величина:

m = 1{,}40 + 5\lg\left(\frac{r}{24{,}3\ \mathrm{pc}}\right)

Получаваме възможни отговори –0,43 mag и +1,94 mag.

Еклиптичната дължина на Нихат-23 се явява равна на ъгъл SNR, тъй като направлението Регул-Нихат е успоредно на направлението Слънце – пролетна равноденствена точка. По синусова теорема получаваме възможни стойности 129,7° и 50,3°. Слънцето е на такава екл. дължина 40 дни преди и след лятно слънцестоене, т.е. около 12 май и 31 юли.

От чертежа се вижда, че

v_R = -v\cos\theta

\mu = \frac{v\sin\theta}{r}

От синусова теорема в триъгълник S – кораб – фиксирана точка по пътя напред може да се покаже, че

\mu = \left(\frac{v}{\mathrm{const}}\right)(\sin\theta)^2

В началниия момент $\theta_1 = 129{,}7°$ , тъй като от фразирането следва, че лъчевата скорост на Слънцето вече е положителна, т.е. корабът стартира от N₂.

Радиалната скорост се е повишила с 30%, следователно

\frac{v_{R2}}{v_{R1}} = \frac{\cos\theta_2}{\cos\theta_1} = 1{,}3

\theta_2 = 146{,}1°

\frac{\mu_2}{\mu_1} = \left(\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}\right)^2 = 0{,}52

Собственото движение на Слънцето се е понижило с 48%.

3т. за зв. величина + 2т. за датите + 3т. за собственото движение = 8т. за А)

Б) Сумата от радиалните скорости на Марина-37 и на далечната звезда, засечени от кораба, винаги дава една и съща стойност. Орбитата на кораба е параболична. Параболичните огледала фокусират успоредни лъчи от безкрайност в точка (фокуса). В случая безкрайните успоредни лъчи идват от далечната звезда, а във фокуса е звездата Марина-37. Ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение при огледалата. В случая това е ъгъл $\theta$ между r и v (вж. подусловие А), поради което радиалните компоненти на орбиталното движение на кораба ще са противоположни и ще се допълват до 0. Тогава сумата на радиалните скорости на Марина-37 и далечната звезда няма да се влияе от орбиталното движение на кораба и ще бъде винаги равна на радиалната скорост на далечната звезда спрямо Марина-37.

По параболична орбита около звезда с маса M винаги е изпълнено:

v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

Повдигаме на 4-та степен и получаваме

r^2 = \frac{4G^2M^2}{v^4}

Заместваме във формулата за лъчист поток на звездата върху единица площ за наблюдател на кораба:

\Phi = \frac{L}{4\pi r^2}

\Phi = \frac{Lv^4}{16\pi G^2M^2}

v = \left(\frac{16\pi G^2M^2\Phi}{L}\right)^{1/4}

При фиксирана звезда (фиксирани M, L) този израз ни дава как е свързана скоростта по параболична орбита с потока, който звездата създава върху него – пропорционално на $\Phi^{1/4}$ .

От момент 1 до момент 2 потокът се повишава с 37%, т.е.

\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{\Phi_2}{\Phi_1}\right)^{1/4} = 1{,}37^{0,25} = 1{,}0819

От момент 1 до момент 2 скоростта се увеличава с 3,7 km/s, т.е.

v_2 = v_1 + 3{,}7\ \mathrm{km/s}

Заместваме и получаваме

1{,}0819v_1 = v_1 + 3{,}7\ \mathrm{km/s}

v_1 = 45{,}2\ \mathrm{km/s}

v_2 = 48{,}9\ \mathrm{km/s}

Ако в момент 2 лъчистият поток, измерен от кап. Апостолов е бил точно равен на потока $\Phi_0$ , който Слънцето създава на Земята, то:

v_2 = \left(\frac{16\pi G^2M^2\Phi_0}{L}\right)^{1/4},\qquad \Phi_0 = \frac{L_\odot}{4\pi(1\mathrm{au})^2}

Заместваме и получаваме

v_2 = \left(\frac{4G^2M_\odot^2(M/M_\odot)^2}{(1\mathrm{au})^2 L/L_\odot}\right)^{1/4}

Обаче

\frac{G^2M_\odot^2}{(1\mathrm{au})^2} = v_{\mathrm{E}}^4

Където $v_{\mathrm{E}} = 29{,}8$ km/s е орбиталната скорост на Земята. Заместваме и получаваме

\frac{v_2}{v_{\mathrm{E}}} = \left(\frac{4(M/M_\odot)^2}{L/L_\odot}\right)^{1/4}

Звездата е от Главната последователност и ще приемем, че

\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3,5}

Заместваме и получаваме

\left(\frac{v_2}{v_{\mathrm{E}}}\right)^4 = \frac{4}{(M/M_\odot)^{3/2}}

\left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3/2} = 4\left(\frac{v_2}{v_{\mathrm{E}}}\right)^{-4}

\frac{M}{M_\odot} = 4^{2/3}\left(\frac{v_2}{v_{\mathrm{E}}}\right)^{-8/3} = 0{,}67

По горната формула за Главна последователност получаваме светимост около 0,2 – 0,3 слънчеви. Звездата вероятно е от спектрален клас K.

В) От условието

\sqrt{\frac{GM}{100R}} = 60\ \mathrm{km/s}

Разделяме почленно на формулата за кръгова скорост за Земята около Слънцето

\sqrt{\frac{GM_\odot}{1\mathrm{au}}} = v_{\mathrm{E}}

и получаваме

\frac{M/M_\odot}{100R/1\mathrm{au}} = \left(\frac{60}{29{,}8}\right)^2

\frac{M/M_\odot}{100(R/R_\odot)(0{,}696/149{,}6)} = \left(\frac{60}{29{,}8}\right)^2

\frac{(M/M_\odot)}{(R/R_\odot)} = \left(\frac{69{,}6}{149{,}6}\right)\left(\frac{60}{29{,}8}\right)^2 = 1{,}9

Такова отношение маса:радиус не е типична за Главната последователност, където обикновено е около 1 или по-малко, както и за почти всички гиганти. За да има голяма маса, но малък радиус, звездата вероятно е изхвърлила външните си слоеве със звезден вятър. Това се случва при Волф-Райе звездите, които имат звезден вятър със скорост от хиляди километри в секунда, което би било опасно за апаратурата на кораба.

Оригинал в Архива: 26-urania.pdf · официални решения: a26-urania.pdf