Съдържание

НОА 2026, IV кръг — Задача 1. Неизвестна планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Подборен кръг за IOAAjr 2026 — Практически тур, 6 юли 2026 г. · 6 юли 2026 г.

Условие

В таблицата са дадени стойностите на видимия ъглов диаметър на една от планетите в Слънчевата система, измерени от земен наблюдател. Времето се измерва в част синодичния период, като началният момент е произволно избран, а ъгловият размер ϑ - в относителни мерни единици, т.е. посочените числени стойности не съответстват на никаква мерна единица за ъгъл.

T	ϑ	T	ϑ
0.09	1.447821	1.18	0.989106
0.18	1.103784	1.27	0.802752
0.27	0.860092	1.36	0.716743
0.36	0.731078	1.45	0.673739
0.45	0.702408	1.55	0.673739
0.55	0.716743	1.64	0.688073
0.64	0.745413	1.73	0.745413
0.73	0.817087	1.82	0.874427
0.82	0.931766	1.91	1.161124
0.91	1.132454	2	1.490826
1	1.390482	2.09	1.419151
1.09	1.318807	2.18	1.189794

N	Планета	Голяма полуос [au]	Радиус [km]
1	Меркурий	0.39	2 440
2	Венера	0.72	6 052
3	Земя	1.00	6 371
4	Марс	1.52	3 390
5	Юпитер	5.20	69 911
6	Сатурн	9.58	58 232
7	Уран	19.20	25 362
8	Нептун	30.04	24 622

Предайте този лист!

T [d]	ϑ [″]	T [d]	ϑ [″]

А) Начертайте графика, която показва зависимостта на ъгловия размер от времето. Прекарайте плавна крива през точките. [3 т.]

Б) Определете голямата полуос на орбитата на неизвестната планета като първо определите коя е тази планета. [6 т.]

В) Определете синодичния период на планетата относно Земята. [4 т.]

Г) Попълнете таблицата отново, като запишете моментите от време в денонощия, а видимия ъглов размер в дъгови секунди. Попълнете дадената празна таблица. [5 т.]

Д) Защо максимумите на видимият ъглов размер не са еднакво високи? [2 т.]

Решение

Решение:

А) На милиметровата хартия начертаваме графика, показваща зависимостта между видимия ъглов размер на планетата (по оста Оу) и времето (по оста Ох). Прекарваме плавна крива между точките.

Графика на видимия ъглов размер θ (вертикална ос, от 0 до 1,8) спрямо времето T (хоризонтална ос, от 0 до 2,5): точките от таблицата и плавна крива с минимуми около T = 0,5 и T = 1,5 и максимуми около T = 1,1 и T = 2,1.

Б) От графиката можем да измерим минималния и максималния видим ъглов размер на планетата в относителните мерни единици, в които той е зададен.
Установяваме че:
$\Theta_{MIN} = 0{,}67$
$\Theta_{MAX} = 1{,}49$ .
Можем да пресметнем, че:

\frac{\theta_{MAX}}{\theta_{MIN}} \approx 2{,}22

Ако с $r_{MIN}$ и $r_{MAX}$ означим най-малкото и най-голямото разстояние между планетата и Земята, а с $D$ физическия диаметър на планетата, то можем да запишем следните равенства:

\theta_{MAX} = \frac{D}{r_{MIN}}

\theta_{MIN} = \frac{D}{r_{MAX}}

От тук следва, че:

\frac{\theta_{MAX}}{\theta_{MIN}} = \frac{r_{MAX}}{r_{MIN}}

От предоставените ни данни не можем да направим никакъв извод относно това дали планетата е вътрешна или външна. Поради тази причина, ще разгледаме два случая.

I случай: Неизвестната планета е външна.
Ако радиусът на орбитата на планетата е r, то в този случай:
$r_{MIN} = r - 1au$
$r_{MAX} = r + 1au$ .
Ако предположим, че планетата е Марс, то се получава, че: $r_{MIN} = 0{,}52$ au и $r_{MIN} = 2{,}52$ au.
Съотношението това максимално и минимално разстояние е приблизително 5, което е много далеч от полученото по-рано 2,2
При допускане, че планетата е Юпитер, то: $r_{MIN} = 4{,}2$ au и $r_{MIN} = 6{,}2$ au.
Сега съотношението 1,48, което също не съответства.
За по-далечните планети отношението между най-голямото и най-малкото разстояние до Земята ще бъде все по-близо до 1. По тази причина дори няма смисъл да проверяваме за тях.
Това означава, че случаят в който планетата е външна може да бъде отхвърлен.

II случай: Неизвестната планета е вътрешна.
При това предположение:
$r_{MIN} = 1au - r$
$r_{MAX} = r + 1au$ .
Ако допуснем, че търсената планета е Меркурий, то: $r_{MIN} = 0{,}61$ au и $r_{MIN} = 1{,}39$ au.
Тук обаче, отношението на максималното към минималното разстояние е 2,27, което е много близо до получената от данните стойност. Следователно, можем да направим заключението, че планетата е Меркурий. Нейната голяма полуос на орбитата е $a_M = 0{,}39$ au.

В) За да определим синодичния период на Меркурий $T_{SYN}$ , първо ще пресметнем неговия период на орбитално движение около Слънцето $T_M$ .
Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{a[au]_M^3}{T[г]_M^2} = 1

От тук намираме: $T_M[г] = a[au]_M^{3/2} \approx 0{,}24$ г $\approx 89d$
За синодичния период можем да запишем следното равенство:

\frac{1}{T_{SYN}} = \frac{1}{T_E} - \frac{1}{T_M}

Следователно:

T_{SYN} = \frac{T_E T_M}{T_E - T_M} \approx 117d

Г) За да попълним първата и третата колона на таблицата (които са озаглавени T [d]) умножаваме дадените ни в условието моменти от време по получения синодичен период. За да попълним видимия ъглов размер, нека да пресметнем стойността на $\Theta_{MAX}$ в секунди. Означаваме с $R_M$ радиуса на Меркурий. Следователно:

\theta_{MAX} = \frac{2R_M}{1au - a_M} \approx 11{,}0''

Знаейки, че този максимален видим ъглов размер съответства на 1,49 условни мерни единици, можем да пресметнем стойностите на всички ъглови размери, чрез пропорция. Получените стойности нанасяме в тази таблица:

T [d]	ϑ ["]	T [d]	ϑ ["]
11	10.7	139	7.3
21	8.2	150	5.9
32	6.4	160	5.3
43	5.4	171	5
53	5.2	182	5
64	5.3	192	5.1
75	5.5	203	5.5
85	6	214	6.5
96	6.9	224	8.6
107	8.4	235	11
117	10.3	246	10.5
128	9.8	256	8.8

Д) Максимумите не са еднакво високи, защото Меркурий има силно елиптична орбита. Поради това, по в различните моменти от време, когато той е в долно съединение (когато видимият му ъглов размер е максимален) разстоянието до него е съществено различно.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):
А) 3т.

За постояване на графика върху която са нанесени всички точки, с правилно разграфени оси – 2т.
За прекарана плавна крива – 1т.

Б) 6т.

За намиране на съотношението между максималния и минималния ъглов размер – 1т.
За правилни разсъждения, чрез които се достига до извода, че планетата е Меркурий – 5т.

Използваният от участника метод може да се различава значително от авторския! Ако методът е логически правилен и изчерпва всички възможни случаи следва да се присъди максимален брой точки. Ако ученикът не е разгледал и двете възможности (вътрешна и външна планета), но е достигнал до извода, че планетата е Меркурий, следва да се отнемат 2т.
В) 4т.

За намиране на орбиталния период на Меркурий – 4т
За намиране на синодичния период – 4т.

Г) 5т.

За правилен метод за пресмятане на числените стойности, които трябва да се внесат в таблицата – 1т.
За правилно попълнени числени стойности, съобразно използвания метод – 4т.

По този критерий могат да се присъждат непълен брой точки, ако ученикът е допуснал изчислителни грешки.
Д) 2т.

За правилен отговор, че планетата е Меркурий и аргументация – 1т.

Оригинал в Архива: 26-IV-pr.pdf · официални решения: a26-IV-pr.pdf