Съдържание

НОА 2026, IV кръг — Задача 2. Лунен изгрев

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Подборен кръг за IOAAjr 2026 · Теоретичен тур, 5 юли 2026 г. · 5 юли 2026 г. · 15 т.

Време за работа

Време за работа: 5 часа

Условие

След като е наблюдавала няколко красиви изгрева на пълната Луна от терасата на варненската обсерватория, романтичната и любознателна Александра е решила, че това е особено красиво явление и е тръгнала на пътешествие в търсене на най-продължителния лунен изгрев. Тя бързо стига до идеята, че това може да се случи на един от полюсите на Земята и избира да отиде на северния полюс.

Ще наречем продължителност на лунния изгрев времевия интервал от момента, когато най-горната точка от видимия лунен диск докосне хоризонта, до момента, когато най-долната точка от лунния диск се покаже на хоризонта. Приемаме, че Луната има радиус 1737,4 km и се движи около Земята равномерно по кръгова орбита с радиус 384 400 km. Наклонът на орбиталната равнина на Луната към еклиптиката е 5,145°.

А) Кога през годината и при какви обстоятелства Александра може да наблюдава най-продължителния изгрев на пълната Луна на северния полюс? Пресметнете приблизително неговата продължителност. [5т.] [5 т.]

Б) По същото време смелата космонавтка Савина е на Луната. Тя наблюдава Земята и разговаря с Александра чрез радиовръзка. Какви особено интересни впечатления споделя Савина? Савина се намира в точка от лунната повърхност, която за Александра е на 10′ (дъгови минути) по-нагоре от центъра на видимия лунен диск. Направете необходимите пресмятания и начертайте в подходящ мащаб приблизително как ще изглежда взаимното разположение на видимите дискове на Слънцето и Земята в небето на Савина в момента, когато центърът на видимия лунен диск пресича хоризонта за Александра. [7т.] [7 т.]

В) Приведете вашите качествени разсъждения относно евентуалното влияние на рефракцията върху продължителността на лунния изгрев. [3т.] [3 т.]

Сидеричен лунен месец – 27,32 денонощия

Синодичен лунен месец – 29,53 денонощия

Отговори

Решение

Решение:

На полюса изгревите на Слънцето и Луната стават не благодарение на околоосното въртене на Земята, а поради видимото годишно движение на Слънцето по еклиптиката и съответно, поради движението на Луната по нейната орбита около Земята. Ако наблюдаваме изгрев на Луната във фаза пълнолуние, то Луната трябва да е разположена противоположно на Слънцето по небесната сфера. Това означава, че в същото време ще наблюдаваме залез на Слънцето. На северния полюс Слънцето залязва само веднъж годишно – в деня на есенното равноденствие около 23 септември. Луната ще изгрява веднъж във всеки лунен месец, но ако при изгрев тя е в пълнолуние, то това може да се случи само около есенното равноденствие.

За да бъде изгревът с максимална продължителност, Луната трябва да се движи по линия, която сключва минимален ъгъл с хоризонта. На северния полюс хоризонтът съвпада с небесния екватор. При есенното равноденствие Слънцето е в есенната равноденствена точка, следователно пълната Луна трябва да е близо до пролетната равноденствена точка. За да се движи Луната по линия, сключваща минимален ъгъл с хоризонта, лунната орбита трябва да е ориентирана така, че Луната да е близо до низходящия възел на своята орбита – точката, в която при своето орбитално движение около Земята Луната пресича еклиптиката от северната еклиптична полусфера към южната.

В лявата страна на схемата е представена небесната сфера, така както изглежда за наблюдател на северния полюс. Северният небесен полюс съвпада със зенита, хоризонтът съвпада с небесния екватор. С $i$ е означен ъгълът на наклона на лунната орбита към еклиптиката, а с $\varepsilon$ наклонът на еклиптиката към небесния екватор. Както се вижда от схемата, при своя изгрев Луната ще се движи под ъгъл $\varepsilon - i$ към хоризонта.

Две схеми. Вляво: небесната сфера за наблюдател на северния полюс с означения Z ≡ P (горе) и Z′ ≡ P′ (долу), „хоризонт небесен екватор“, „проекция на лунната орбита“, „еклиптика“, „пролетна равноденствена точка“ и ъглите i и ε. Вдясно: линия „хоризонт“ и наклонена „проекция на лунната орбита“ под ъгъл ε − i, с два диска „Луна“ в положения A и B.

Вдясно на схемата е дадена съвсем малка част от небесната сфера и са показани положенията на Луната в началото и в края на нейния изгрев. Първо трябва да намерим дъгата АВ в ъглови мерки. Малката част от небесната сфера можем приблизително да считаме за равнина и ако означим с $\delta$ видимия ъглов диаметър на Луната, то можем да напишем следното съотношение:

\frac{\delta}{AB} = \sin(\varepsilon - i)

Ако R e радиусът на Луната, а r e радиусът на лунната орбита около Земята, то:

\delta = \frac{2R}{r}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 0^{\circ}{,}5179 \approx 31'

AB = \frac{\delta}{\sin(\varepsilon - i)} \approx 1^{\circ}{,}6504

При движението си по своята орбита Луната изминава по небесната сфера ъгъл АВ за време:

\Delta t = T_{*}\cdot\frac{AB}{360^{\circ}}

където $T_{*}$ е орбиталният период на Луната, или сидеричният лунен месец.

\Delta t \approx 0{,}125 \text{ денонощия} \approx 3 \text{ часа}

Този резултат е приблизителен. Причините са свързани с факта, че Луната е на сравнително не много далечно разстояние от Земята. Ако в даден момент тя се намира в точката на пролетното равноденствие за наблюдател в центъра на Земята, то за наблюдател на полюса тя ще бъде все още под хоризонта. Следователно най-дългият изгрев на Луната в пълнолуние ще се наблюдава от полюса малко по-късно, след като Луната се е издигнала още малко над плоскостта на екватора. Тогава и наклонът на проекцията на лунната орбита към хоризонта ще е малко по-различен. Освен това ние тук използвахме видимия ъглов диаметър на Луната, пресметнат също за наблюдател в центъра на Земята. За наблюдател на полюса той също би бил леко различен. Но тези поправки са съвсем малки и не биха довели до съществено изменение на приблизителния отговор, който получихме тук.

Ако Луната е близо до пролетната равноденствена точка и в пълнолуние, то тя може да премине през земната сянка и полусянка, т.е. земните жители ще наблюдават лунно затъмнение. В същото време Савина, която е на Луната, ще наблюдава слънчево затъмнение – Земята ще закрива Слънцето. Именно от това явление тя навярно ще споделя своите впечатления с Александра. В момента на равноденствието земната ос е перпендикулярна на правата, свързваща центровете на Земята и Слънцето и терминаторът на Земята минава много близо до полюсите. Да предположим, че именно в този момент от северния полюс се наблюдава изгревът на Луната и центърът на нейния видим диск лежи на хоризонта. Както се вижда от схемата, тогава Луната ще се намира в полусянката на Земята. Следователно Савина, чието положение на Луната е отбелязано с точка С, ще вижда частично слънчево затъмнение.

Схема на Слънцето (голяма окръжност „Слънце“) и Земята (окръжност с полюси N и S, „Земя“) с допирателните, ограничаващи „сянка“ и „полусянка“; през N е прекарана линия „хоризонт за полюса“, на която е Луната с точка C; означени са ъглите γ, β, α и δ₀.

С $\delta_0$ е означен видимият от Земята ъглов диаметър на Слънцето. Приблизително същият ще е той и за Савина, защото разстоянието Луна – Земя е много по-малко от разстоянието Земя – Слънце.

\delta_0 = \frac{2R_S}{r_0}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}

където $R_S$ е радиусът на Слънцето, а $r_0$ е разстоянието между Слънцето и Земята.

\delta_0 \approx 0^{\circ}{,}5331 \approx 32'

Ъгълът $\alpha$ по условие е равен на 10′.

За ъгъла $\gamma$ можем да напишем:

\gamma = \frac{R_S - R_T}{r_0}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi}

където $R_T$ е радиусът на Земята. Но понеже той е около 109 пъти по-малък от радиуса на Слънцето, можем да го пренебрегнем и тогава:

\gamma \approx \delta_0/2 \approx 16'

Ъгъглът $\beta$ , който показва каква част от видимия диск на Слънцето ще бъде закрита от Земята, ще бъде:

\beta = \delta_0 - \gamma - \alpha = 6'

Трябва да определим и видимия от Луната ъглов диаметър на Земята:

\delta_T = \frac{2R_T}{r}\cdot\frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 1^{\circ}{,}899 \approx 114'

Накрая начертаваме в мащаб схемата на взаимното разположение на Земята и Слнцето, както ще се вижда от позицията на Савина в точка С на лунната повърхност.

Мащабна схема на видимите дискове в небето на Савина: малък диск „Слънце“ над голям сив диск „Земя“, частично закриващ го отдолу; оразмерителни линии α + γ = 26′, δ₀ = 32′, β = 6′ и δ_T = 114′.

Рефракцията няма да повлияе върху продължителността на изгрева на Луната. Поради рефракцията на хоризонта се виждат точки от небесната сфера, които са всъщност на определен ъгъл под хоризонта. По тази причина началото на изгрева на Луната ще бъде наблюдавано по-рано, отколкото в случай че няма рефракция. Но със същото подраняване във времето ще настъпи и краят на изгрева на Луната и в крайна сметка времевият интервал между началото и края на изгрева ще остани същият. Разбира се, при по-ранния момент, в който ще видим началото на изгрева при наличие на рефракция, Луната ще бъде в леко различна позиция по орбитата си, както и при по-ранния момент на края на изгрева. Строго погледнато, това може да доведе до разлика в продължителността на изгрева, но тя би била наистина много малка.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) Общо 5 т.

За посочване на подходящото време в годината и обосновка – 1,5 т.

За посочване на низходящия възел като правилно решение и обяснение – 1,5 т.

За пресмятане на продължителността – 2 т.

Б) Общо 7 т.

За разбиране, че при описаните условия ще се наблюдава затъмнение – 1 т.

За добра пространствена представа за ситуацията (Луната е в полусянката на Земята, разположение на хоризонта за полюса, разположение на точката, където се намира Савина) – 1 т.

За пресмятания и правилни числени отговори – 3 т.

За начертаване на схемата – 2 т.

В) Общо 3 т.

За правилни обяснения – 2 т.

За вярно заключение – 1 т.

Оригинал в Архива: 26-IV-th.pdf · официални решения: a26-IV-th.pdf