НОА 2026, IV кръг — Задача 3. Завръщане към Блатистата планета

• А) 0.7071

  $r_1/r_2 = \cos 45^{\circ} = \sqrt{2}/2$

• Б) 2 часа

  Часове на Блатистата планета (1/16 от денонощието им).

• В) T₁ ≈ 415,13 дни (Ярката планета), T₂ ≈ 698,18 дни (Блатистата планета).

• Г) 1357

  $2R/r_2 \approx 0{,}0007367$

Решение:

Щом като от Блатистата планета се наблюдава пасаж на Ярката планета по диска на слънцето, то очевидно радиусът $r_1$ на орбитата на Ярката планета около слънцето е по-малък от радиуса $r_2$ на орбитата на Блатистата планета. Пасаж на Ярката планета по диска на слънцето ще се наблюдава, когато Ярката планета е в долно съединение за наблюдател на Блатистата планета. Периодът от 1024 дена, през който се повтаря тази конфигурация, е синодичният период на Ярката планета $T_{syn}$.

На схемата с S е означено Животворното слънце, а с В – Блатистата планета. Когато обитателите на Блатистата планета виждат най-дълго време Ярката планета над хоризонта вечер след залеза на слънцето, Яркта планета е в максимална източна елонгация. Тогава тя е в положение $A_1$ на схемата. При пасажа по диска на слънцето Ярката планета е в положение $A_2$. Времето, което изминава между тези две позиции на Ярката планета, ще бъде:

Оттук намираме:

За отношението на радиуса на орбитата на Ярката планета към радиуса на орбитата на Блатистата планета получаваме:

Нека означим това съотношение с k, тъй като то ще ни трябва и в по-нататъшните пресмятания.

В правоъгълния триъгълник $A_1BS$ ъгълът $\alpha$ също ще е равен на 45°. Като имаме предвид, че по определение от жителите на Блатистата планета, тяхното денонощие се дели на 16 техни часове, то интервалът от време между момента на залеза на центъра на видимия диск на слънцето и залеза на Ярката планета ще бъде:

Великата теория, развита на Янит Анталб, трябва да е теорията за гравитацията. Изследвайки движението на планетите, като следствие от теорията за гравитацията, великият астроном трябва да е стигнал и до третия закон на Кеплер. Използваме този закон, както и формулата за връзката между сидеричния и синодичния период на Ярката планета, а също и вече полученото от нас отношение k на орбиталните радиуси на планетите, за да намерим истинските орбитални периоди $T_1$ и $T_2$ на двете планети:

Оттук получаваме:

Означаваме времетраенето на пасажа на Ярката планета пред диска на слънцето с $\Delta t_3$, а радиуса на слънцето с R. На следващата схема сме означили с S Животворното слънце, с В Блатистата планета, а с A’ и A’’ положенията на Ярката планета в началото и в края на пасажа.

За ъглите $\varphi$ и $\psi$, изразени в радиани, можем да напишем:

По време на пасажа Ярката планета изминава дъгата A’A’’ и се завърта на ъгъл $\varphi$ по своята орбита. Ъгълът $\varphi$ е малък и поради това дъгата A’A’’ може да се смята приблизително за праволинейна отсечка. Нейната дължина е:

По-нататък намираме:

И накрая за съотношението на диаметъра на слънцето към радиуса на орбитата на Блатистата планета получаваме:

Или ако вземем обратното съотношение, диаметърът на слънцето е около 1357 пъти по-малък от радиуса на орбитата на Блатистата планета.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

А) Общо 3 т.

За добра представа за ситуацията и правилни пресмятания – 2 т.

За верен числен отговор – 1 т.

Б) Общо 3 т.

За правилни пресмятания – 2 т.

За верен числен отговор – 1 т.

В) Общо 4 ч.

За правилен метод на решение и алгебрични преобразувания – 3 т.

За верни числени отговори – 1 т.

Г) Общо 5 т.

За правилна геометрична представа – 1 т.

За правилни пресмятания – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.