НОА 2026, Купа „Урания“ — Задача 1. Светилище

• А) $\varepsilon = 24\ \text{сл. градуса} = 36°,\quad \varphi = 32\ \text{сл. градуса} = 48°,\quad \Delta\varphi = 32 - 24 = 8$

  Пътят на юг е 8 слънчеви градуса (32 − 24), а не 10, както твърди ученикът.

• Б) $\varphi_1 = 90° - 48° - 36° = 6°\ \text{или 4 слънчеви градуса}$

  Възможно е: при лятното слънцестояние слънцето кулминира на север от зенита и височината му се отчита от точката север. Тогава 60° + 2ε + 48° = 180° се изпълнява при 2ε = 72°, а планетографската ширина на мястото е φ₁ = 6° = 4 слънчеви градуса.

• В) $\cos(\angle MO3) = \frac{\sin\varepsilon}{\cos\varphi} \Rightarrow \angle MO3 \approx 28°{,}5$

  Четирите арки отстоят на 28°,5 от посоките север (изгрев и залез при лятно слънцестояние) и юг (изгрев и залез при зимно слънцестояние).

Решение:

Резултатите от измерванията на великия астроном ни показват, че Блатистата планета има определен наклон на екватора към орбиталната ѝ равнина, който ще отбележим с $\varepsilon$. На схемата е дадена небесната сфера за наблюдател в обсерваторията на Тсарх Вилдоб. С X е означено положението на Животворното слънце по пладне в най-дългия ден от годината, т.е. в деня на лятното слънцестояние. В този ден деклинцията на слънцето ще бъде равна на $\varepsilon$. С Y е означено положението на слънцето по пладне половин година по-късно, следователно в деня на зимното слънцестояние, когато деклинацията на слънцето е също равна на $\varepsilon$, но с отрицателен знак, защото то е в южната небесна полусфера.

Според измерванията на Тсарх Вилдоб:

Оттук намираме:

Както е известно, височината на северния небесен полюс над хоризонта е равна на географската ширина $\varphi$ на мястото, а височината над хоризонта на точката Q, в която небесният екватор пресича местния меридиан, е равна на $90° - \varphi$. Следователно:

Оттук пресмятаме планетографската ширина на обсерваторията на великия астроном:

Мястото, където в Деня на Високото слънце (лятното слънцестояние) по пладне съществата си изгубват сенките (защото слънцето се издига до зенита), трябва да е на северната тропична окръжност, която има планетографска ширина, равна на $\varepsilon$, т.е. 24 слънчеви градуса, или 36°. Като се тръгне на юг от обсерваторията, за да се стигне дотам, трябва да се изминат $32 - 24 = 8$ слнчеви градуса, а не 10, както твърди ученикът на Тсарх Вилдоб. В това е и неговата грешка, която великият астроном е поправил.

Великият астроном разказва на своя ученик за място, където височините на слънцето по пладне при двете слънцестояния са 40 и 32 слънчеви градуса (60° и 48°). При ситуация, подобна на описаната по-горе, би трябвало разликата между тези височини да се равнява на $2\varepsilon$, т.е. на 48 слънчеви градуса, което очевидно не е вярно. Такава ситуация, обаче, е възможна, ако при лятното слънцестояние слънцето кулминира на север от зенита. Тогава неговата височина над хоризонта ще се отчита не от точката юг (S) на хоризонта, а от точката север (N), както е показано на схемата.

За тази схема трябва да са валидни следните равенства:

Тогава трябва да е изпълнено равенството:

Проверката чрез заместване с $2\varepsilon = 72°$ показва, че това действително е така и следователно ситуацията наистина е възможна. За планетографската ширина $\varphi_1$ на такова място можем да напишем:

Но $YQ = \varepsilon = 36°$, а $SY = 48°$. Оттук получаваме:

Ако светилището представлява хоризонтален кръг по земята, то посоките от центъра на кръга, в които трябва да се виждат изгревът и залезът на слънцето при лятно слънцестояние, се определят от точките 1 и 2 на Фиг. 1. Посоките, в които трябва да се виждат изгревът и залезът на слънцето при зимно слънцестояние, се определят от точките 3 и 4.

За да определим местата на арките в светилището, трябва да намерим на колко е равен ъгълът MO3. Въвеждаме условно радиус на небесната сфера $R$. Разглеждаме първо триъгълника OBM. В него:

А сега разглеждаме триъгълника MO3. Той също е првоъгълен. Страната O3 е равна на R.

Това е ъгълът, на който трябва да отстои арка 3 от посоката юг в кръга на светилището. На същия ъгъл трябва да отстои и арка 4, но надясно от посоката юг, а положенията на арките 1 и 2 трябва да остоят на същите ъгли, но от посоката север. Така начертаваме схема на светилището.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

А) Общо 4 т.
За определяне на наклона на оста на планетата и географската ширина на обсерваторията – 3 т.
За поправяне на грешката на ученика – 1 т.

Б) Общо 5 т.
За правилна идея как това може да се реализира (кулминация на слънцето на север от зенита) – 1 т.
За правилна геометрична представа – 1 т.
За пресмятания и математическа обосновка – 3 т.

В) Общо 6 т.
За правилен метод за пресмятане – 3 т.
За верни числени резултати – 1 т.
За схема на светилището – 2 т.