Съдържание

НОФ 1985, III кръг (национален) — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1985

МИНИСТЕРСТВО НА НАРОДНАТА ПРОСВЕТА · Централна комисия за провеждане на олимпиадата · Т Е М А · за Републиканския кръг на олимпиадата по ФИЗИКА · 21 април 1985 г. · 21 април 1985 г. · 40 т.

Условие

Количка с маса на платформата $m$ има четири колела, всяко с маса $m$ и радиус $R$ . От състояние на покой количката започва да се движи под действието на теглилка с маса $M$ , свързана с количката посредством безтегловна неразтеглива нишка /фиг.1/. Масата на макарата А, през която е прехвърлена нишката е пренебрежимо малка. Колелата на количката се движат по хоризонталната равнина без хлъзгане.

Определете:

Количка с платформа с маса m на две видими колела с маса m върху хоризонтална равнина; от платформата хоризонтална нишка минава през макара A в ъгъла на масата и отвесно надолу към теглилка M, висяща до вертикалната стена. — фиг. 1

1. Ускорението $a$ , с което ще се движи количката.

2. Силата на опъване на нишката $T$ .

3. Хоризонталната сила $F$ , с която всяка ос действува на всяко от колелата.

4. Силата на триене $F_{тр}$ , приложена към всяко от колелата.

5. При какъв коефициент на триене $f$ е възможно описаното движение на количката?

Силите на триене в осите се пренебрегват. Колелата са плътни хомогенни цилиндри. Инерчният момент на такъв цилиндър спрямо оста му е $J = \frac{1}{2} m R^2$ . Максималната сила на триене при покой да се приеме равна на силата на триене при хлъзгане.

Отговори

Решение

Законът за запазване на енергията, като вземем под внимание, че силите на триене между колелата и равнината са сили на триене при покой и следователно работата им е нула, може да се изрази:

Mgh = \frac{1}{2} mv^2 + 4\frac{1}{2} mv^2 + 4\frac{J\omega^2}{2} + \frac{MV^2}{2} \qquad /1/.

Тук $h$ е височината, на която се е спуснала теглилката с маса М, а изразът в дясно е кинетичната енергия на цялата система. Понеже движението е без хлъзгане $V = \omega R$ /2/.

От /1/ и /2/ получаваме $Mgh = \frac{7}{2} mv^2 + \frac{MV^2}{2}$ /3/.

Понеже действуват постоянни сили $h = \frac{1}{2} at^2$ /4/, $V = at$ /5/ и следователно $Mg\frac{1}{2}at^2 = \frac{7m+M}{2} a^2t^2$ /6/, от където

a = \frac{M}{7m+M} g \qquad /7/.

Опъването Т на нишката определяме от уравнението

Mg - T = Ma \quad /8/ \qquad T = M(g-a) = \frac{7Mm}{7m+M} g \quad /9/

Силата на взаимодействие $F$ на всяка ос с колелото определяме от условието $T - 4F = ma = \frac{mMg}{7m+M}$ /10/, откъдето $F = \frac{3}{2}\frac{Mmg}{7m+M}$ /11/.
Момента на силата на триене $F_{тр}$ при покой, приложена към всяко колело е $F_{тр}R = J\varepsilon$ /12/, $J = \frac{1}{2} mR^2$ , а $\varepsilon = \frac{a}{R}$ /13/ /движение без хлъзгане/.

От тук следва, че $F_{тр} = \frac{ma}{2} = \frac{mMg}{14m+2M}$ /14/.

Но максималната сила на триене при покой е равна на силата на триене при плъзгане и следователно $F_{тр} = f\left(m + \frac{m}{4}\right)g$ /15/, където $\left(m + \frac{m}{4}\right)g$ е натискът на всяко колело върху равнината. От тук

f = \frac{4M}{5(14m+2M)} \qquad /16/.

УКАЗАНИЯ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ЗАДАЧИТЕ:

При пълно и вярно решение да се дадат .......... 40 т.
Ако са решени условия 1 – 4 да се дадат .......... 35 т.
Ако са решени условията 1 – 3 да се дадат .......... 30 т.
Ако са решили условията 1 – 2 да се дадат .......... 20 т.
Ако са направили само условие 1 да се дадат .......... 10 т.

Оригинал в Архива: 1985_rep.pdf