Съдържание

НОФ 1986, III кръг (национален) — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1986

МИНИСТЕРСТВО НА НАРОДНАТА ПРОСВЕТА · Централна комисия за провеждане на олимпиадата · Т Е М А · за Републиканския кръг на олимпиадата по ФИЗИКА · 13 април 1986 г. · 13 април 1986 г. · 35 т.

Условие

Язовирна стена има форма на правоъгълник с височина $H$ и ширина $L$ . Стената е вертикална. Намерете:

1. Натиска на водата в язовира върху стената, като приемете, че водата достига до горния край на стената. Плътността на водата е $\varrho$ .

2. Мястото на приложната точка на този натиск.

ЗАБЕЛЕЖКА: Известно е, че $1^2 + 2^2 + \ldots n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Отговори

Решение

На фиг. 1 е представена стената в профил. На дълбочина $X$ от повърхността хидростатичното налягане е $p = \varrho g x$ /1/. На една тясна ивичка с височина $\Delta x$ на тази дълбочина натискат ще бъде $\Delta F = p \Delta S$ /2/ $\Delta S = L \Delta x$ и сл. $\Delta F = L \varrho g x \Delta x$ /3/. Очевидно, поради симетрията приложната точка на силата $F$ е в средата на тази ивичка. Сумирането на израза /3/ по $X$ в граници от $X = 0$ до $X = H$ дава $F = \frac{1}{2}\varrho g H \cdot LH$ , $LH = S$ /4/. Този израз може да се получи и директно: налягането е линейна функция на дълбочината и сл. можем да въведем средно налягане, равно на средноаритметичното на най-малкото и най-голямото:

p_{ср} = \frac{0 + \varrho g H}{2} = \frac{\varrho g H}{2}.

Тогава $F = p_{ср} LS = \frac{\varrho g H}{2} LH$

Да изчислим момента $\Delta M$ на силата $\Delta F$ спрямо точка A, намираща се в средата на горния ръб на стената: $\Delta M = \Delta F x$ /5/ $\Delta M = \varrho g L x^2 \Delta x$ /6/. Сумарният момент е $M = \sum \Delta M$ , като сумирането трябва да се извърши за стойности на $X$ от 0 до $H$ ;

Пресмятането на сумата $\sum x^2 \Delta x$ ще извършим така: да приемем, че $\Delta x = \mathrm{const}$ и да разделим цялата височина $H$ на $n$ на брой такива ивички. Тогава $\sum x^2 \Delta x = \Delta x \sum x^2$ , където $X$ взема стойности $\frac{H}{n}, \frac{2H}{n}, \frac{3H}{n}$ и т.н /7/. Тогава

\Delta x \sum x^2 = \Delta x \left[\left(\frac{H}{n}\right)^2 + \left(\frac{2H}{n}\right)^2 + \left(\frac{3H}{n}\right)^2 + \ldots\right] = \Delta x \frac{H}{n^2}\left[1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots\right] \quad /8/.

Като вземем под внимание, че $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ за големи стойности на $n$ получаваме $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 \approx \frac{n^3}{3}$ /9/ и сл.

\Delta x \frac{H^2}{n^2}\left(1^2 + 2^2 + \ldots\right) = \frac{H}{n}\frac{H^2}{n^2} \cdot \frac{n^3}{3} = \frac{1}{3}H^3 \quad /10/

/Сумирането може да се извърши и чрез интегриране: $\int_0^L x^2 dx = \left(\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^H = \frac{H^3}{3}$ /9/. От тук получаваме $M = \varrho g \frac{L H^3}{3}$ /9/

От друга страна стойността на този момент може да бъде получена и като произведението $F\ell$ , където $\ell$ е разстоянието от т.A до приложната точка на $F$ : $\frac{\varrho g H}{2} LH \ell = \frac{1}{3}\varrho g L H^3$ /11/, откъдето получаваме $L = \frac{2}{3}H$ /12/.

УКАЗАНИЯ

При пълно и вярно решение да се дадат ... 35 т
Ако е достигнат резултатът /5/ ... 25 т.
Ако е достигнат резултатът /4/ ... 15 т.
За формула /1/ ... 5 т.

Профил на вертикалната стена с горна точка A и вода вдясно (плътност ρ); отбелязани са дълбочина x, тясна ивичка Δx, разстояние ℓ от A до приложната точка и сила F, насочена наляво; основата е щрихована. — фиг.1

Оригинал в Архива: 1986_rep.pdf