Съдържание

НОФ 1987, III кръг (национален) — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1987

МИНИСТЕРСТВО НА НАРОДНАТА ПРОСВЕТА. ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. РЕПУБЛИКАНСКИ КРЪГ, 19 април 1987 година · 19 април 1987 г. · 20 т.

Условие

В циклотрона заредените частици се въртят (фиг.2) в магнитно поле и се ускоряват от електричното поле в процепите между електродите $A$ и $B$ . За резонансно ускорение на частиците от електричното поле честотата на въртене на частиците и честотата на електричното поле $\nu_0$ трябва да съвпадат. Но при големи скорости, съизмерими със скоростта на светлината, масата на частиците нараства и това води до необходимостта да меним и магнитното поле така, че честотата на въртене на частиците да остава постоянна (синхотрон).

Намерете как трябва да меним индукцията $B$ на магнитното поле в зависимост от кинетичната енергия $E_K$ на частицата, че честотата $\nu_0$ да остава постоянна. Масата на покой $m_0$ на частиците, зарядът им $e$ и скоростта на светлината $c$ са известни величини.

Схема на циклотрон: два D-образни електрода A (горе) и B (долу), разделени с процеп; пунктирана спирална траектория на частицата, която излиза вляво. — фиг 2

Отговори

Решение

Съгласно теорията на относителността $E_K = mc^2 - m_0c^2$ или $E_K = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m_0c^2$ (1). От тук $\sqrt{1 - v^2/c^2} = 1/(E_K/m_0c^2 + 1)^2$ (2) и $v = c\sqrt{(E_K/m_0c^2)^2 + 2E_K/m_0c^2}/(E_K/m_0c^2 + 1)$ (3).

Тъй като $\vec{v} \perp \vec{B}$ , то центробежната сила $\frac{mv^2}{r} = Bev$ (4); $mv = \frac{m_0v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (5).

От (2), (3) и (5) намираме $mv = \frac{1}{c}\sqrt{E_K^2 + 2E_Km_0c^2}$ (6).

Като решим съвместно (6) и (4), намираме

$B = \frac{\sqrt{E_K^2 + 2E_Km_0c^2}}{cer}$ , $r = \frac{\sqrt{E_K(E_K + 2m_0c^2)}}{ceB}$

Честотата $\nu_0 = \frac{eB}{2\pi m} = \frac{eB}{2\pi m_0}\sqrt{1 - v^2/c^2}$

Затова, като поставим $\sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{E_K/m_0c^2 + 1}$ от (2), намираме, че $\nu_0 = \frac{eB}{2\pi m_0(E_K/m_0c^2 + 1)}$ , от където $\frac{E_K}{m_0c^2} + 1 = \frac{eB}{2\pi m_0\nu_0}$ и $E_K = m_0c^2\left(\frac{Be}{2\pi m_0\nu_0} - 1\right)$ (9). Т.е. индукцията трябва да расте линейно с $E_K$ .

Указания за оценяване:

При пълно и вярно решение се дават	20 т.
Ако са написани уравнения (1) - (8) -	15 т.
Ако са написани уравнения (1) - (6) -	10 т.
Ако са написани уравнения (1) - (4) -	5 т.

Оригинал в Архива: 1987_rep.pdf