Съдържание

НОФ 1988, III кръг (национален) — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1988

МИНИСТЕРСТВО НА КУЛТУРАТА, НАУКАТА И ПРОСВЕТАТА. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика. Републикански кръг, 27 март 1988 г. · 27 март 1988 г. · 20 т.

Условие

Ако в блюдо се капнат няколко малки капки живак те, при случайното си допиране, се сливат в една по-голяма капка. Големите капки не проявяват тенденция към сливане. При наличие на голям брой малки капки сливането им в една се оказва невъзможно. Дайте количествено описание на това явление! За простота считайте капките (както малките, така и големите) за сферични. Оценете радиуса $R$ на $n$ на брой малки капки, които лесно се сливат в една по-голяма. Числената оценка направете за $n = 2$ , ако коефициентът на повърхностно напрежение на живака е $\alpha = 0{,}46\ \mathrm{J/m^2}$ , и плътността му е $\rho = 13{,}6.10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ .

Отговори

Решение

Нека с $R$ означим радиуса на една малка капка. Тя ще притежава потенциална енергия в полето на силата на тежестта (спрямо дъното на блюдото) $E_{1,\text{пот}} = \rho V g R = \frac{4}{3}\pi R^4 \rho g$ 2т.

и повърхностна енергия $E_{1,\text{пов}} = 4\pi R^2 \alpha$ . 2т.

При наличие на $n$ капки те ще имат енергия

E_n = n\left(E_{1,\text{пот}} + E_{1,\text{пов}}\right) = 4\pi R^2 n\left(\alpha + \frac{1}{3}\rho g R^2\right).

1т.

При сливането на капките се образува голяма сферична капка с радиус $R_0 = R n^{1/3}$ и енергия 1т.

E_0 = 4\pi R^2 n^{2/3}\left(\alpha + \frac{1}{3}\rho g R^2 n^{2/3}\right).

1т.

Сравняваме енергиите преди и след сливането на капките

x = \frac{E_0}{E_n} = \frac{1}{n^{1/3}}\,\frac{\alpha + \beta n^{2/3}}{\alpha + \beta},

2т.

където $\beta = \frac{1}{3}\rho g R$ .

Системата ще се намира в това състояние, в което енергията е минимална.

а) при малък брой $n$ и малък размер на капките, когато

\alpha \gg \beta n^{2/3},

2т.

x \approx \frac{1}{n^{1/3}}\,\frac{\alpha}{\alpha + \beta} < 1.

2т.

и сливането на капките е енергетически изгодно!

б) при голям брой $n$

\alpha \ll \beta n^{2/3},

2т.

x \approx \frac{\beta}{\alpha + \beta}\cdot n^{1/3} \approx n^{1/3} > 1

2т.

Сливането на капките в една води до повишаване на енергията и следователно е енергетически неизгодно. От пункт а) следва, че при лесно сливане на капките

R \ll \left(\frac{3\alpha}{n^{2/3}\rho g}\right)^{1/2}

2т.

При $n = 2$ , $R \ll 2{,}5.10^{-3}\ \mathrm{m}$ . 1т.

ОБЩО 20 точки

Оригинал в Архива: 1988_rep.pdf