Съдържание

НОФ 1990, III кръг (национален) — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1990

МИНИСТЕРСТВО НА НАРОДНАТА ПРОСВЕТА. ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. РЕПУБЛИКАНСКИ КРЪГ, 25 март 1990 г. · 25 март 1990 г. · 17 т.

Условие

Получете формула, приближено изразяваща зависимостта на теглото на тяло от географската ширина. Определете отклонението на местната вертикала от направлението, зададено с радиуса на Земята, т.е. ъгълът между правата, по която действа теглото на тялото и радиуса. Пресметнете най-голямото отклонение в градуси, като приемете, че Земята е кълбо с радиус $R = 6350\ \mathrm{km}$ , а големината на земното ускорение на екватора е $g_0 = 9{,}7803\ \mathrm{m.s^{-2}}$ .

Полезна формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ при $x \ll 1$ .

Отговори

Решение

Нека тяло с маса $m$ лежи на повърхността на Земята.

Основната причина за зависимостта на теглото $\vec{P}$ на тялото от географската ширина $\alpha$ (фиг. 1) е въртенето на Земята около оста и. Ето защо силата $\vec{F}$ , с която Земята привлича тялото и реакцията на опората $\vec{R}$ не действат по една права. Тогава $\vec{P} = \vec{F} + \vec{F}_c$ , тъй като $\vec{P} = -\vec{R}$ . Тук $\vec{F}_c$ е центробежната сила. 3т.

От фиг. 1 следва, че

\begin{aligned} g\cos\beta &= f\cos\alpha - \omega^2 l,\\ g\sin\beta &= f\sin\alpha, \end{aligned}

1т.

където е използвано $F_c = m\omega^2 l = m\omega^2 R\cos\alpha$ (1т.) и е положено $f = F/m$ . При $\alpha = \beta = 0$ , ускорението $g = g_0$ и следователно $f = g_0 + \omega^2 R = g_0(1+\varepsilon)$ (2т.). Тук е положено $\varepsilon = \omega^2 R/g_0$ . Тогава

g\cos\beta = g_0\cos\alpha, \qquad g\sin\beta = g_0(1+\varepsilon)\sin\alpha,

1т.

откъдето

g = g_0\sqrt{1 + 2\varepsilon\left(1+\frac{\varepsilon}{2}\right)\sin^2\alpha}.

1т.

Като се отчете, че $\omega = 2\pi/T = 2\pi/(24.60.60) = 7{,}27.10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}$ , се получава $\varepsilon = 0{,}00343 \ll 1$ (1т.) и следователно

g \approx g_0\sqrt{1 + 2\varepsilon\sin^2\alpha} \approx g_0(1 + \varepsilon\sin^2\alpha).

1т.

Отклонението на местната вертикала се определя от ъгъла $\gamma = \beta - \alpha$ (1т.). Тогава от равенствата, свързващи $g$ , $g_0$ , $\alpha$ , $\beta$ следва $\sin\beta\cos\alpha = (1+\varepsilon)\sin\alpha\cos\beta$ (1т.), откъдето

\sin\gamma = \varepsilon\sin\alpha\cos\beta \approx \frac{\varepsilon}{2}\sin 2\alpha.

1т.

Като се отчете, че $\sin\gamma \sim \varepsilon \ll 1$ , може да се положи $\sin\gamma \approx \gamma$ (1т.). Тогава окончателно се получава

\gamma \approx \frac{\varepsilon}{2}\sin 2\alpha.

1т.

От приведената формула следва, че $\gamma_{max} = \varepsilon/2 \approx 6'$ и се реализира при $\alpha = 45^0$ (1т.).

Общо 17 точки

Земното кълбо с ос на въртене, означена с ω; успоредник с радиус l; в точка от повърхността са начертани векторите R⃗ (нагоре), F⃗c (хоризонтално навън) и P⃗ = mg⃗; от центъра O са означени ъглите α и β и точка O′ на оста. — Фиг. 1

Оригинал в Архива: 1990_rep.pdf