Съдържание

НОФ 1991, III кръг (национален) — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1991

Републикански кръг на олимпиадата по физика, 24 март 1991 г. · 24 март 1991 г. · 17 т.

Условие

Да се намери ъгълът на удвояване на образа в клиновидна стъклена пластина с ъгъл $\theta$ и показател на пречупване $n$ , ако лъчът от обекта пада върху предната стена под ъгъл $\alpha_1 = 30^\circ$ .

Забележка: Ъгълът на удвояване $\varphi = \alpha_2 - \alpha_1$ , а $\theta \ll 1$ .

Клиновидна стъклена пластина; падащ лъч отдясно, отразен и пречупен лъч, вътрешни ъгли β1 и β2, два излизащи лъча под ъгли α1 и α2. — Фиг. 3. Ход на лъчите в клиновидната пластина: ъгли $\beta_1$ , $\beta_2$ вътре в стъклото и излизащи лъчи под ъгли $\alpha_1$ и $\alpha_2$ .

Отговори

Решение

Ъглите $\beta_1$ и $\beta_2$ са свързани чрез равенството

\beta_2 = \beta_1 + 2\theta.

От закона за пречупване на лъчите на предната стена следва

\sin\alpha_1/\sin\beta_1 = n, \qquad \sin\alpha_2/\sin(\beta_1 + 2\theta) = n. \quad \textbf{[4 т.]}

Тъй като $\theta \ll 1$ и $\sin(\beta_1 + 2\theta) \approx \sin\beta_1 + 2\theta\cos\beta_1$ , се получава

\sin(\beta_1 + 20) \approx \frac{\sin\alpha_1}{n} + 2\theta\sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha_1}{n^2}}.

Тогава

\sin\alpha_2 = \sin\alpha_1 + 2\theta\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha_1}. \quad \textbf{[6 т.]}

Търсеният ъгъл $\varphi$ е малък и затова $\varphi \approx \sin\varphi = \sin(\alpha_2 - \alpha_1)$ . Тогава

\varphi = \sin\alpha_2\,\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2\sin\alpha_1.

При $\alpha_1 = 30^\circ$ е в сила равенството

\sin\alpha_2 = \frac{1 + 2\theta\sqrt{4n^2 - 1}}{2} \quad \textbf{[4 т.]}

и след изразяване на всички необходими тригонометрични функции чрез $\theta$ и $n$ окончателно се получава

\varphi = \frac{2}{\sqrt{3}}\theta\sqrt{4n^2 - 1}. \quad \textbf{[3 т.]}

Общо 17 точки

Оригинал в Архива: 1991_rep_zad.pdf · официални решения: 1991_rep_resh.pdf