Съдържание

НОФ 1991, III кръг (национален) — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1991

Републикански кръг на олимпиадата по физика, 24 март 1991 г. · 24 март 1991 г. · 18 т.

Условие

Обемът на хоризонтален цилиндър е разделен на две части от подвижно тънко бутало. Лявата част е вакуумирана, а дясната е запълнена от един $\mathrm{mol}$ едноатомен идеален газ. Буталото е съединено с лявата основа на цилиндъра чрез спирална пружина с дължина в недеформирано състояние равна на височината на цилиндъра. С помощта на вграден нагревател с пренебрежим обем газът се нагрява бавно и увеличава обема си с $50\%$ .

Триенето на буталото в цилиндъра е пренебрежимо. Топлинните капацитети на цилиндъра и буталото се пренебрегват.

Правоъгълен хоризонтален цилиндър; вляво спирална пружина, свързваща лявата основа с буталото; вдясно от буталото — точкувана област, изобразяваща газа. — Фиг. 1. Хоризонталният цилиндър с пружината вляво и газа (защрихован) вдясно от буталото.

а) Да се намери отношението на извършената от газа работа и получената от него топлина при разширението му.

б) Да се намери връзката между налягането и обема на газа за описания термодинамичен процес.

Отговори

Решение

Нека $p_1$ е началното налягане, $V_1 = xS$ — началният обем на газа, а със $S$ е означена площта на буталото. Тогава $p_1 S = kx$ , където $k$ е коефициентът на еластичност на пружината. В крайното състояние налягането $p_2$ се определя от равенството $p_2 S = \frac{3}{2}kx$ .

От уравнението на състояние на газа следва изразът:

T_2 = (3p_2/2p_1)T_1 = (9/4)T_1,

където $T_1$ и $T_2$ са началната и крайната температура на газа. [6 т.]

От първия принцип на термодинамиката $\Delta U = Q + A$ , където изменението на вътрешната енергия на газа е

\Delta U = \frac{3}{2}R\,(T_2 - T_1) = \frac{15}{8}RT_1,

$Q$ е полученото от газа количество топлина, а $A$ — извършената от външната сила работа. Тъй като еластичната сила е консервативна,

A = -\Delta E_p = -\left\{\frac{1}{2}k\left(\frac{3}{2}x\right)^2 - \frac{1}{2}kx^2\right\} = -\frac{5}{8}kx^2 = -\frac{5}{8}RT_1,

където $E_p$ е потенциалната енергия на деформираната пружина и са използвани уравнението на състояние и изразите за $p_1$ и $V_1$ . Тогава

Q = \Delta U - A = \frac{5}{2}\,RT_1. \quad \textbf{[8 т.]}

Извършената от газа работа при разширението на газа е $A' = -A$ и следователно

\frac{A'}{Q} = \frac{1}{4}. \quad \textbf{[2 т.]}

За произволното междинно състояние на газа с обем $V = zS$ и налягане $p = kz/S$ се получава

p = \alpha V. \quad \textbf{[2 т.]}

Тук

\alpha = k/S^2 = \mathrm{const.}

Общо 18 точки.

Оригинал в Архива: 1991_rep_zad.pdf · официални решения: 1991_rep_resh.pdf