НОФ 1992, II кръг (областен), 10–11 клас — Задача 2

• $k > \sqrt{3}/2$

Когато трупчетата изминат разстояние $x$, силите на триене извършват работа $A = -2kmgx$, където $m$ е масата на едно трупче. Работата $A$ е равна на изменението на механичната енергия на системата: $A = E_k - Mgy$, където потенциалната енергия на системата в началния момент сме приели за равна на нула.

Следователно общата кинетична енергия на трите трупчета е $E_k = Mg(y - 2kx)$.

Нишката е неразтеглива. Записваме Питагоровата теорема за правоъгълния триъгълник от фиг.1 : $y^2 + a^2 = (a + x)^2$.

Изразяваме $y$ чрез $x$ и го заместваме във формулата за $E_k$:

Когато трупчетата престанат да се движат $E_k = 0$. Тогава:

Това е квадратно уравнение спрямо $x$, което има два корена: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2a/(4k^2-1)$. Първият корен съответства на началното положение. Трупчетата няма да достигнат ръба на равнините, ако $x_2 < a$, т.е. при $k > \sqrt{3}/2$.

Задачата се оценява максимално със 7 точки.