НОФ 1992, III кръг (национален) — Задача 2

• б) $\eta = \frac{\ln 4}{2\ln 4+3}$ ≈ $24$ %

  По официалното решение (2.7)–(2.8): η = ln4/(2ln4+3) = 24%.

• в) 50 %

  КПД на цикъла на Карно по официалното решение (2.10).

• г) 50 %

  По официалното решение КПД с „колектор“ съвпада с този на Карно.

а) Тъй като при изотермичен процес не променя вътрешната енергия на идеален газ, то

(2.1) $Q_{12} = A_{12} = R.T_0\ln(V_0/4.V_0) = -R.T_0\ln 4$ 2 т.

При изохорния процес не се извършва работа и погълнатата (отдадената) топлина е равна на промяната на вътрешната енергия на газа

(2.2) $Q_{23} = \Delta U = C_V(2T_0-T_0) = C_VT_0 = 3.R.T_0$ 2 т.

Съответно при изотермичното разширение ще имаме

(2.3) $Q_{34} = 2.R.T_0\ln 4$ 1 т.

а при изохорното охлаждане

(2.4) $Q_{41} = -3.R.T_0$ 1 т.

б) По дефиниция КПД на топлинен двигател се дава от

(2.5) $\eta = \dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}$ 2 т.

където $Q_1$ е погълнатото, а $Q_2$ – отдаденото от газа количество топлина за един цикъл, т.е.

(2.6) $Q_1 = Q_{23} + Q_{34}$ и $Q_2 = -Q_{12}-Q_{41}$ 1 т.

следователно за КПД получаваме

(2.7) $\eta = \dfrac{Q_{34}+Q_{12}}{Q_{23}+Q_{34}} = \dfrac{R.T_0.\ln 4}{2RT\,\ln 4+3RT_0} = \dfrac{\ln 4}{2\ln 4+3}$ 3 т.

или

(2.8) $\eta = 24\%$ 1 т.

в) За цикъл на Карно имаме

(2.9) $\eta = 1-T_{\text{охл}}/T_{\text{наг}} = 1-T_0/2T_0$ 2 т.

или

(2.10) $\eta = 50\%$ 1 т.

по-малкия КПД при цикъла на Стирлинг се дължи на необратимите загуби при изохорните процеси. / 2 т./

г) При използуването на "колектор" топлина ще се получава и отдава съответно само при изотермичното разширение и свиване (тъй като $Q_{23}=-Q_{41}$) при което

(2.11) $\eta = 1 + \dfrac{Q_{12}}{Q_{23}} = 1/2$ 2 т.

или $\eta=50\%$, т.е. при наличието на "колектор" КПД на машината на Стирлинг съвпада с тази на Карно.

Общо 20 точки