Съдържание

НОФ 1993, II кръг (областен), 8–9 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1993

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, НАУКАТА И КУЛТУРАТА. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика. ТЕМА за Втория кръг на олимпиадата по физика за 8. клас със засилено изучаване на западен език и 9. клас без засилено изучаване на западен език – паралелки профил физика на ПМГ, 28 февруари 1993 година · 28 февруари 1993 г. · 7 т.

Условие

Две окръжности (билярдна топка) върху хоризонтална равнина. Лявата: център C с вектор на скоростта v, най-горна точка B, най-долна точка A (допирна точка с равнината), пунктирен вертикален диаметър. Дясната: център C, радиус R, хоризонтална сила F, приложена на височина x над равнината. — фиг.1

а. Билярдна топка с радиус $R$ , маса $m$ и инерчен момент $I = \frac{2}{5}mR^2$ (спрямо ос, минаваща през центъра на масите $C$ ) се търкаля без хлъзгане по хоризонтална равнина. Скоростта на центъра $C$ на топката е $v$ . Определете скоростите на точките $A$ и $B$ (фиг.1а) и кинетичната енергия на топката.

б. На каква височина $x$ трябва да се удари билярдна топка (фиг.1б), за да започне да се търкаля без хлъзгане? Силата $\vec{F}$ е хоризонтална. Разгледайте два случая: $F \gg f_{max}$ и $F = 3f_{max}$ , където $f_{max}$ е максималната сила на триене при покой между топката и хоризонталната равнина.

Указание. Запишете уравненията за въртеливото и за постъпателното движение на топката. Топката и хоризонталната равнина да се разглеждат като идеално твърди тела. Разгледайте отделно двата случая, като за случая $F \gg f_{max}$ пренебрегнете триенето.

Отговори

Решение

а. $v_A = 0$ .. 1 точка; $v_B = 2v$ ……. 1 точка.

$E = mv^2/2 + I\omega^2/2$ . При търкаляне без хлъзгане ъгловата скорост $\omega$ и скоростта $v$ на центъра на масите са свързани с кинематичната връзка $\omega = v/r$ . След заместване за пълната кинетична енергия на билярдната топка се получава

E = \frac{7}{10}mv^2

……… 2 точки.

б. Топката извършва постъпателно движение с ускорение $a$ и въртене около ос, минаваща през центъра ѝ, с ъглова скорост $\alpha$ . Условието за търкаляне без хлъзгане е: (1) $\alpha = a/R$ .

При $F \gg f_{max}$ ще пренебрегнем триенето.

Записваме уравнението за въртене: (2) $F(x - R) = I\alpha$ , и уравнението за постъпателно движение: (3) $F = ma$ на топката.

След заместване на инерчния момент от условието на задачата, от равенства 1, 2 и 3 се получава: $x = \frac{7}{5}R$ … 2т.

Сега да отчетем триенето. Ако стойностите на $F$ и $x$ са такива, че пресметнатите по формули (2) и (3) стойности на $a$ и $\alpha$ удовлетворяват неравенството $\alpha < a/R$ , тогава търкаляне без хлъзгане е възможно, ако силата на триене при покой се противопоставя на постъпателното движение и подпомага въртенето, така, че да е в сила равенство (1). В този случай силата на триене е насочена обратно на посоката на движение (фиг.1а).

Ако без триене е в сила неравенството $\alpha > a/R$ , за да се извършва търкаляне без хлъзгане трябва силата на триене при покой $f$ да се противопоставя на въртенето и да подпомага постъпателното движение, т.е да е насочена по посока на движението (фиг.1б).

Уравненията за въртеливо и постъпателно движение на топката добиват вида

(2') $F(x - R) \pm fR = I\alpha$ ; (3') $F \mp f = ma$ ,

където горният знак се отнася за случая, показан на фиг.1а, а долният – за фиг.1б. След заместване се получава $x = \frac{7}{5}R\left(1 \mp \frac{f}{F}\right)$ .

Тъй като $f$ се изменя от 0 до $f_{max} = F/3$ , за $x$ получаваме

\frac{14}{15}R \le x \le \frac{28}{15}R

……… 1 точка.

Забележка. На практика времето на удара е много малко. За да получи топката достатъчно голям импулс, трябва $F \gg f_{max}$ .

Задачата се оценява максимално със 7 точки.

Две окръжности с център C и радиус R върху хоризонтална равнина; хоризонтална сила F е приложена на височина x. а: силата е над центъра, отбелязано е разстоянието x−R, силата на триене f в основата е насочена наляво (обратно на движението). б: силата на триене f в основата е насочена надясно (по посока на движението). — Фиг.1.

Оригинал в Архива: 1993_reg_89prof.pdf