Съдържание

НОФ 1993, III кръг (национален) — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1993

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, НАУКАТА И КУЛТУРАТА. ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. Републикански кръг, 28 март 1993. ТЕМА · 28 март 1993 г. · 12 т.

Условие

Стъклена полусфера с диаметър $50\mathrm{mm}$ и показател на пречупване $n=1.5$ се използва като лупа, когато се постави върху печатен лист откъм плоската си страна. Определете нейното увеличение за букви с размер $2$ , $3$ и $5\mathrm{mm}$ .

/полезно тъждество $\sin^{-2}\varphi = 1 + \mathrm{tg}^{-2}\varphi$ /

Отговори

Решение

Увеличението на лупата можем да получим, използвайки геометрията, показана на чертежа /за правилен чертеж - 2т./. Връзките между размера на оригинала $\ell$ , размера на изображението $\ell'$ , радиуса на сферата $r$ , ъглите на падане $\theta$ и пречупване $\theta'$ и показателя на пречупване $n$ са:

$\ell = r.\mathrm{tg}\theta$ /1т./ $\qquad$ $\ell' = r.\mathrm{tg}\theta'$ /1т./ $\qquad$ $\sin\theta'/\sin\theta = n$ /1т./

Оттук за увеличението получаваме

\frac{\ell'}{\ell} = \frac{\mathrm{tg}\theta'}{\mathrm{tg}\theta} = \frac{\sin\theta'}{\sqrt{1-\sin^2\theta'}} \Big/ \frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} = \frac{n\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sqrt{1-n.\sin^2\theta}} \qquad \text{/3т./}

използвайки обратната трансформация към $\mathrm{tg}\theta=r/\ell$

\frac{\ell'}{\ell} = \frac{n}{\sqrt{1-(n-1).\ell^2/r^2}} \qquad \text{/2т./}

за $\ell=2\mathrm{mm}$ $\ell'/\ell=1.502$ , за $\ell=3\mathrm{mm}$ $\ell'/\ell=1.505$ и за $\ell=5\mathrm{mm}$ $\ell'/\ell=1.515$ /2т./

/задачата се оценява максимално с 12т. При използване на приближението за малки ъгли $\mathrm{tg}\theta \approx \sin\theta \approx \theta$ и съответно краен резултат $\ell'/\ell = n$ максималната оценка е 6т./

Полусфера с плоската страна надолу; пунктирна вертикална ос през центъра; наклонен лъч от основата до върха на сферата, продължен навън под ъгъл θ' спрямо оста; ъгъл θ между лъча и оста, радиус r; отсечки ℓ и ℓ' по основата, ℓ' с пунктирно продължение на излизащия лъч.

Оригинал в Архива: 1993_rep.pdf