Съдържание

НОФ 1994, II кръг (областен), 10–11 клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1994

МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО. Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика. ТЕМА за Втория кръг на олимпиадата по физика за 10. и 11. клас на СОУ, 19 март 1994 година · 19 март 1994 г. · 7 т.

Условие

Във влакнестата оптика се използва явлението пълно вътрешно отражение. Когато светлинен лъч, разпространяващ се в оптично влакно, достигне границата стъкло-въздух, той се отразява и пречупва.

Две части: а — граница „въздух“/„стъкло“ с лъч в стъклото, падащ под ъгъл α_г спрямо нормалата; б — лазерен сноп с ъгъл на разходимост α, падащ върху торца на цилиндрично влакно с показател на пречупване n и ос 0 (пунктир). — Фиг.2.

а. При какъв минимален ъгъл на падане $\alpha_{\text{г}}$ (фиг.2а) лъчът изцяло ще се отрази (пълно отражение) и няма да напусне влакното? Показателят на пречупване на стъклото е $n$ , а на въздуха е единица. [1 т.]

б. Оптично влакно с показател на пречупване $n = 1{,}5$ има форма на прав цилиндър с дължина $L = 1\ 000\ \mathrm{m}$ . По оста 0 на влакното е насочен тесен, слабо разходящ лазерен сноп с ъгъл на разходимост $\alpha = 5^{\circ}(0{,}087\ \mathrm{rad})$ . Това означава, че светлинните лъчи сключват с оста на влакното ъгли от нула до $5^{\circ}$ (фиг.2б). Пресметнете разликата $\Delta t$ между максималното и минимално време, за което светлината преминава през влакното.

Указание. Определете пътищата на два лъча: 1. лъч, който се разпространява по оста на цилиндъра; 2. лъч, който пада под ъгъл $\alpha$ спрямо оста, пречупва се при влизане във влакното и след това многократно претърпява пълно вътрешно отражение от околната му повърхност. [4 т.]

в. Ако лазерът излъчва импулси с продължителност $\tau_o = 11.5\ \mathrm{ns}$ (при същата разходимост на снопа), каква ще е продължителността на импулсите, след като преминат през влакното? [2 т.]

Влакното се намира във въздух.

Отговори

Решение

Зад.3.а. $\sin\alpha_{\text{г}} = 1/n$ .......... 1 точка

б. Най-малко разстояние ( $L = 1000\ \mathrm{m}$ ) ще измине светлината, която се разпространява по оста на влакното. Тя ще премине през влакното за минимално време

t_{min} = \frac{L}{(c/n)},

където $c/n$ е скоростта на светлината в стъклото.

Всички останали лъчи ще претърпят многократно пълно вътрешно отражение от околната повърхност на влакното и ще изминат по-голям път. Максимален път изминава лъчът, който пада върху основата на влакното под максималния ъгъл $\alpha = 5^{\circ}$ (фиг.3)

За него $L_{max} = L/\cos\beta$ . Ъгълът на пречупване $\beta$ определяме от закона на Снелиус $\sin\alpha/\sin\beta = n$ :

\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \sin^2\alpha/n^2}.

Максималното време за преминаване на светлината през влакното е $t_{max} = L_{max}/(c/n) = \dfrac{L}{(c/n)\sqrt{1 - \sin^2\alpha/n^2}}$ .

\Delta t = t_{max} - t_{min} = \frac{L}{(c/n)}\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2\alpha/n^2}} - 1\right).

$\Delta t = 8{,}5\ \mathrm{ns}$ .......... 4 точки.

в. Продължителността на импулсите на изхода на влакното ще бъде $\tau = \tau_o + \Delta t = 20\ \mathrm{ns}$ .......... 2 точки.

Задачата се оценява максимално със 7 точки.

Надлъжен разрез на влакно с показател на пречупване n и ос (пунктир): лъч пада на торца под ъгъл α спрямо оста, пречупва се под ъгъл β и се отразява от горната повърхност. — Фиг.3.

ПОЛЕЗНИ КОНСТАНТИ

ПОЛЕЗНИ КОНСТАНТИ:

земно ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ;

скорост на светлината във вакуум $c = 3.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ;

плътност на водата $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ .

Десетични логаритми от някои цели числа

число, n	11	12	13	14	15
lg n	1,041	1,079	1,114	1,146	1,176

Оригинал в Архива: 1994_obl_1011.pdf