Съдържание

НОФ 1995, III кръг (национален), 9–11 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1995

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, НАУКАТА И ТЕХНОЛОГИИТЕ. ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. ТЕМА за IX, X и XI клас на републикански кръг на олимпиадата по физика, 15 април 1995 · 15 април 1995 г. · 25 т.

Условие

На плоска хоризонтална маса лежи еднородна пръчка с дължина $L$ и маса $M$ . Пръчката може свободно да се върти около неподвижна ос, перпендикулярна на масата. Оста минава през центъра $O$ на пръчката. Перпендикулярно на пръчката се движи материална точка (м.т.) със скорост $v$ и маса $m$ , която се удря в края на пръчката. Изследвайте движението на пръчката и м.т. когато:

Изглед отгоре: вертикална пръчка с дължина L (стрелка по дължината ѝ), означена с M, с център O; отляво към долния край на пръчката се движи материална точка m със скорост v (стрелка надясно).

а) ударът между материалната точка и пръчката е абсолютно еластичен. Дискутирайте това движение при $3m<M$ , $3m>M$ и $3m=M$ .

б) ударът между м.т. и пръчката е напълно пластичен, т.е. материалната точка се залепва в края на пръчката. Определете енергията $Q$ , която се отделя във вид на топлина. Кога е възможен пластичният удар?

Силите на триене се пренебрегват. Инерчният момент на пръчка спрямо ос, минаваща през средата ѝ е $I=ML^2/12$ .

Отговори

Решение

Тъй като центърът на масите на пръчката е неподвижен, законът за запазване на импулса няма да бъде в сила /2т./, но в сила ще бъдат законите за запазване на момента на импулса и енергията /2т./.

а) При еластичен удар законите за запазване са

m.v.\frac{L}{2} = m.v_1.\frac{L}{2} + I.\omega \qquad (1)

/2т./

\frac{m.v^2}{2} = \frac{m.v_1^2}{2} + \frac{I.\omega^2}{2} \qquad (2)

/2т./

откъдето определяме ъгловата скорост на въртене на пръчката $\omega$ и скоростта $v_1$ на м.т. след удара .

\omega = \frac{12.m}{(3m+M)L}v \qquad (3)

/2т./

v_1 = \frac{3.m-M}{3.m+M}v \qquad (4)

/2т./

Ако $3m<M$ , м.т. ще се отрази след удара, т.е. ще се движи в обратна на първоначалната посока /1т./, а при $3m>M$ м.т. ще продължи да се движи във първоначалната посока /1т./. При $3m=M$ м.т. ще спре след удара /1т./, но след един полуоборот на пръчката ще претърпи отново удар с пръчката, ще си обменят енергиите, пръчката ще спре, а м.т. ще продължи движението си със скорост $v$ /2т./.

б) при пластичен удар законите за запазване на момента на импулса и енергията придобиват вида:

m.v.\frac{L}{2} = I_1.\omega \qquad (5)

/1т./

\frac{m.v^2}{2} = \frac{I_1.\omega^2}{2} + Q \qquad (6)

/1т./

където $I_1=I+m(L/2)^2$ е инерчният момент на пръчката плюс залепената за края и материална точка /2т./. От уравнения (5) и (6) за отделената топлина $Q$ получаваме

Q = \frac{m.v^2}{2}\,\frac{M-3.m}{M+3.m} \qquad (7)

/2т./

за да се отдели топлина е необходимо $Q>0$ , т.е. $M>3m$ /1т./. При $M=3m$ пластичният удар не се съпровожда с отделяне на топлина /1т./.

Задачата се оценява максимално с 25 точки.

Оригинал в Архива: 1995_rep_911.pdf