НОФ 1996, III кръг (национален), 9–11 клас — Задача 3

• $E = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2},\quad r = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2},\quad E = \frac{\sum_{i=1}^{n} E_i/r_i}{\sum_{i=1}^{n} 1/r_i}$

Задача 3: Напрежението $U_{AB}$ между точките A и B на фигурата може да бъде получено от законите на Ом и Кирхоф

$U_{AB} = E_1 - I\cdot r_1$ /2т./

$E_1 - E_2 = r_1\cdot I + r_2\cdot I$ /2т./

От второто уравнение определяме тока и заместваме в първото

$I = (E_1 - E_2)/(r_1 + r_2)$ /1т./

$U_{AB} = E_1 - r_1\cdot(E_1 - E_2)/(r_1 + r_2) = (E_1\cdot r_2 + E_2\cdot r_1)/(r_1 + r_2)$ /1т./

т.е. така свързаните източници на ЕДН са еквивалентни на източник на ЕДН с напрежение

$E = (E_1\cdot r_2 + E_2\cdot r_1)/(r_1 + r_2)$ /1т./

а вътрешното съпротивление намираме като сума от две успоредно свързани съпротивления:

$r = r_1\cdot r_2/(r_1 + r_2)$ /1т./

За да обобщим формулата за n на брой източници е по-удобен записът

$\displaystyle E = \frac{\frac{E_1}{r_1}+\frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}}\qquad (1)$ /2т./

Допускаме, че за n на брой източници е в сила формулата

$\displaystyle E = \frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{E_i}{r_i}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{r_i}}\qquad (2)$ /2т./

Нека прибавим още един източник, като използваме формула (1), получаваме

$\displaystyle E' = \frac{\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{E_i}{r_i}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{r_i}}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{r_i}+\frac{E_{n+1}}{r_{n+1}}}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{r_i}+\frac{1}{r_{n+1}}}$ /2т./

или

$\displaystyle E = \frac{\sum_{i=1}^{n+1}\frac{E_i}{r_i}}{\sum_{i=1}^{n+1}\frac{1}{r_i}}$ /1т./

с което формула (2) е доказана.

Задачата се оценява максимално с 15 точки.