Съдържание

НОФ 1997, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1997

Министерство на образованието, науката и технологиите · Централна комисия за провеждане на олимпиадата по физика · ТЕМА · за третия (републикански) кръг на олимпиадата по физика · за X и XI клас, 5 април 1997 година · 5 април 1997 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Сканираното решение е избледняло и съдържа видими ръкописни поправки. В решение 3, формула (9), е запазен отпечатаният знак минус пред v₀², който не съответства на следващия извод. Във формула (8) е запазен отпечатаният минус между двата члена; в следващото скаларно произведение източникът отпечатва плюс.

Условие

ЗАДАЧА 2. В телекомуникационните системи се използват оптични влакна с тънка цилиндрична сърцевина, направена от стъкло с показател на пречупване $n_1$ , която е покрита с еднороден слой от друго стъкло с показател на пречупване $n_2$ ( $n_1>n_2$ ).

Успоредни лъчи падат върху събирателна леща и се фокусират върху предната основа на оптично влакно. Отбелязани са ъгъл α, сърцевина n₁, обвивка n₂ от двете страни и пунктирната ос. — Фиг.2

а) Светлинен лъч се разпространява в сърцевината на влакното под ъгъл $\beta$ спрямо нейната ос. Покажете, че съществува максимален ъгъл $\beta_m$ , при който светлината не преминава през цилиндричната повърхност на сърцевината. 2 точки

б) Лазерен сноп светлина се фокусира от събирателна леща върху предната основа на влакното, която е плоска и е перпендикулярна на оста (фиг.2). При какъв максимален ъгъл на падане $\alpha$ светлината ще се разпространява само в сърцевината на влакното? Изразете $\alpha$ чрез $n_2$ и $\Delta=\frac{n_1-n_2}{n_2}$ , като отчетете, че параметърът $\Delta$ е много по-малък от единица.

Направете числени пресмятания за $n_2=1{,}5$ и $\Delta=0.005$ . 4 точки

в) При максимален ъгъл $\alpha$ (вж. подточка б) лазерът излъчва импулси с продължителност $\tau_0=1\ \mathrm{\mu s}$ . Колко е продължителността на импулсите на изхода на влакното?

Дължината на влакното е $L=10\ \mathrm{km}$ , скоростта на светлината във вакуум е $c=3\cdot10^8\ \mathrm{m/s}$ , $n_1=1{,}5$ и $\Delta=0{,}005$ . 4 точки

Отговори

Решение

ЗАДАЧА 2 (10 точки). а) Светлината не преминава през цилиндричната повърхност при пълно вътрешно отражение. Граничният ъгъл, при който се наблюдава пълно вътрешно отражение, е $\theta_{\text{гр}}=90^\circ-\beta_m$ (фиг.2), $\sin\theta_{\text{гр}}=1/n_{21}=n_2/n_1$ . Следователно: (1) $\cos\beta_m=n_2/n_1$ . 2 точки.

б) От закона на Снелиус $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta_m}=n_1$ получаваме

\sin\alpha=n_1\sin\beta_m=n_1\sqrt{1-\cos^2\beta_m}.

Заместваме $\cos\beta_m$ от (1) в (2) и получаваме

\sin\alpha=n_1\sqrt{\frac{n_1^2-n_2^2}{n_1^2}}=\frac{n_1}{n_1}\sqrt{(n_1+n_2)(n_1-n_2)}.

1 точка.

Тъй като $n_1\approx n_2$ , то $n_1+n_2\approx2n_2$ . От друга страна $n_1-n_2=n_2\Delta$ . Следователно: $\sin\alpha=n_2\sqrt{2\Delta}$ . 2 точки; $\sin\alpha=0{,}15$ ; $\alpha=8{,}6^\circ$ . 1 точка.

(Тъй като $\alpha$ е малък ъгъл $\sin\alpha\approx\alpha=0{,}15\ \mathrm{rad}=8{,}6^\circ$ )

в) Скоростта на светлината в сърцевината на влакното е $u=c/n_1$ . 1 точка

За минимално време $t_1$ по влакното преминава лъч, който се разпространява успоредно на неговата ос: $t_1=L/u=n_1L/c$ . Максимално е времето на разпространение $t_2$ на лъчите, които сключват ъгъл $\beta_m$ с оста, защото те изминават максимално разстояние $L/\cos\beta_m$

t_2=\frac{n_1L}{c\cos\beta_m}=\frac{n_1^2L}{n_2c}.

Разликата във времената е

\Delta t=t_2-t_1=\frac{n_1L}{c}\left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)=\frac{n_1L}{c}\Delta.

1,5 точки; $\Delta t=0{,}25\ \mathrm{\mu s}$ . 0,5 точка.

Продължителността на импулсите на изхода на влакното е

$\tau=\tau_0+\Delta t=1{,}25\ \mathrm{\mu s}$ . 1 точка

Пълно вътрешно отражение на граница между n₁ отдолу и n₂ отгоре. Лъчът и отразеният лъч сключват ъгъл θгр с нормалата; β_m е към хоризонталата. — Фиг. 2

Теми и трудност

Оценена трудност: 3/5.

Оптика · Пречупване · Отражение и огледала

Предпоставки: Гимназиална подготовка, Разширена олимпиадна подготовка

Оригинал в Архива: 1997_rep_1011.pdf