НОФ 1997, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 3

• а) $h_m=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

• б) $L=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}{g}$

• в) $\operatorname{tg}\alpha=4$

• г) $\sin^2\alpha < \frac{8}{9}\quad\text{или}\quad\alpha < 70{,}5^\circ$

  Условието е преписано от крайния извод (10). В предходната отпечатана формула (9) е запазен неправилен знак минус пред v₀².

ЗАДАЧА 3 (14 точки). а) Положението и скоростта на камъка в даден момент от времето се задават с уравненията: (1) $x=v_0t\cos\alpha$; (2) $v_x=v_0\cos\alpha$; (3) $y=v_0t\sin\alpha-gt^2/2$; (4) $v_y=v_0\sin\alpha-gt$. 1 точки.

Времето за издигане на камъка определяме от (4) като положим $v_y=0$.

(5) $t_1=v_0\sin\alpha/g$. Заместваме $t_1$ в (3) и определяме максималната височина

(6) $h_m=y_m=v_0^2\sin^2\alpha/(2g)$. 2 точки.

б) Продължителността на полета е $2t_1$. Полагаме в (1) $t=2t_1$ и като заместим $t_1$ от (5) за далечината на полета получаваме

(7) $L=x=2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g=v_0^2\sin(2\alpha)/g$. 2 точки.

в) Приравняваме десните страни на равенства (6) и (7) и получаваме $\operatorname{tg}\alpha=4$. 1 точка.

г) Когато ъгълът $\alpha$ е голям, камъкът отначало се отдалечава от точката на хвърляне О, а след това се приближава към нея. (При $\alpha=90^\circ$ камъкът ще падне в точка О). Когато камъкът се отдалечава, векторът на неговата моментна скорост $\vec{v}$ сключва остър ъгъл с радиус-вектора $\vec{r}$. При приближаване към О скоростта е насочена под тъп ъгъл спрямо радиус-вектора. Камъкът престава да се отдалечава в момента, когато скоростта стане перпендикулярна на радиус-вектора. От чертежа на фиг.3 се вижда, че в този момент е в сила съотношението $x/y=-v_y/v_x$ или

(8) $xv_x-yv_y=0$.

(Равенство (8) може да се получи и от изискването скаларното произведение на векторите $\vec{r}$ и $\vec{v}$ да е равно на нула: $\vec{r}\cdot\vec{v}=xv_x+yv_y=0$).

Заместваме $x$, $v_x$, $y$ и $v_y$ от (1), (2), (3) и (4) в (8) и получаваме

(9) $\frac{g^2}{2}t^2-\frac{3}{2}gv_0\sin\alpha\cdot t-v_0^2=0$.

Когато дискриминантата на това квадратно уравнение е отрицателна, не съществува момент $t$, в който скоростта да е перпендикулярна на радиус-вектора, т.е. не съществува момент, в който камъкът да е достигнал най-отдалеченото си положение. Следователно в такъв случай през цялото време на полета той ще се отдалечава от точка О. Това става ако: (10) $\sin^2\alpha<8/9$ или $\alpha<70{,}5^\circ$. 8 точки.

Забележка. Задачата може да се реши и като се намери условието, при което функцията $f(x)=r^2(x)=x^2+y^2$, където $y=ax-bx^2$, няма максимум ($a=\operatorname{tg}\alpha$). Намира се първата производна на $f(x)$ и се приравнява на нула. Получава се квадратно уравнение, чиято дискриминанта е отрицателна при $a=\operatorname{tg}\alpha<\sqrt{8}$, което е еквивалентно на условие (10).