НОФ 1998, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 2

• а) Винтова линия с постоянен радиус и нарастваща „стъпка“.
• б) $1.76 \times 10^{7}$ m/s
• в) 1 cm
• г) 2.5 mm
• д) $s_1 : s_2 : s_3 : \ldots = 1^2 : 2^2 : 3^2 : \ldots$

ЗАДАЧА 2. а) Под действие на магнитната сила електронът описва окръжност с постоянен радиус, която лежи в равнина, перпендикулярна на индукционните линии. Едновременно с това под действие на електричната сила електронът се движи равноускорително в посока, противоположна на посоката на силовите линии на електричното поле (зарядът на електрона е отрицателен). При наслагването на тези две движения се получава винтова линия с постоянен радиус и нарастваща „стъпка“ …… 3 точки

б) $eU = mv_0^2/2$; $v_0 = \sqrt{2U\dfrac{e}{m}} = 1{,}76.10^{7}\ \mathrm{m/s}$ …… 2 точки

в) Големината на магнитната сила е $ev_0B$. От условието за движение по окръжност $\dfrac{mv_0^2}{r} = ev_0B$ определяме радиуса на окръжността $r = \dfrac{mv_0}{eB}$. Правата $\alpha$ е перпендикулярна на тази окръжност и я пресича в точка $A$. Следователно $L_{\max} = 2r = \dfrac{2mv_0}{eB} = \dfrac{2v_0}{\frac{e}{m}B} = 1\ \mathrm{cm}$ …… 3 точки

г) Електронът прави една обиколка на окръжността за време $T = \dfrac{2\pi r}{v_0} = \dfrac{2\pi m}{eB}$ и отново попада върху правата $\alpha$ (в точка $A_1$). За същото време, движейки се равноускорително с ускорение $a = eE/m$ по правата $\alpha$, той изминава път $s_1 = \dfrac{aT^2}{2} = \dfrac{2\pi^2E}{\frac{e}{m}B^2} = 2{,}5\ \mathrm{mm}$ …… 3 точки

д) Електронът пресича правата $\alpha$ в моментите 0, $T$, $2T$, $3T$ и т.н. Тъй като движението по правата $\alpha$ е равноускорително, изминатите за съответните интервали от време пътища се отнасят както квадратите на последователните цели числа: $s_1 : s_2 : s_3 : \ldots = 1^2 : 2^2 : 3^3 \ldots$ …… 2 точки