НОФ 1998, III кръг (национален), 10–11 клас — Задача 3

• а) $A = R,\quad \omega = \sqrt{\frac{g_0}{R}},\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g_0}}$
• б) $t = \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{R}{g_0}}$
• в) $x = \frac{R\sqrt{2}}{2}$
• г) $v = \frac{\sqrt{2g_0R}}{2},\quad u = \frac{\sqrt{2g_0R}}{6}$
• д) $x_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{3}R$

ЗАДАЧА 3. а) Движението на топчето (например с маса $m$) се извършва под действието на гравитационна сила $F = -\dfrac{mg_0}{R}x$, която е от вида $F = -kx$, където $k = \dfrac{mg_0}{R}$. Това е връщаща сила, под действие на която топчето извършва хармонично трептене с амплитуда $A = R$, кръгова честота $\omega = \sqrt{\dfrac{|F|}{mx}} = \sqrt{\dfrac{g_0}{R}}$ и период $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g_0}}$. Периодът не зависи от масата на топчето. Следователно двете топчета ще извършват хармонично трептене с еднаква амплитуда и еднакъв период …… 3 точки

б) Разстоянието от края на канала до центъра $C$ всяко от топчетата изминава за време $T/4$. Тъй като топчетата извършват еднакви трептения (отместени по фаза), ако нямаше удар, второто топче щеше да измине разстоянието от точката на удара до центъра $C$ за същото време, за което първото топче изминава разстоянието от центъра до точката на удара. Следователно ударът ще стане в момент $t = \dfrac{T}{8} = \dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{R}{g_0}}$ …… 3 точки

в) Разстоянието от центъра $C$ до точката на удара е

$x = A\sin\dfrac{2\pi}{T}\dfrac{T}{8} = A\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$ …… 2 точки

г) Преди удара двете топчета имат еднакви скорости

$v = \omega R\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2g_0R}}{2}$ …… 2 точки

След удара двете топчета се движат с еднаква скорост $u$, която определяме от закона за запазване на импулса

$2mv - mv = 3mu$; $u = \dfrac{v}{3} = \dfrac{\sqrt{2g_0R}}{6}$ …… 2 точки

д) След удара съставното топче с маса $3m$ извършва хармонично трептене. От закона за запазване на енергията при хармоничното трептене следва уравнението $\dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{3mu^2}{2} = \dfrac{kx_{\max}^2}{2}$, където $k = \dfrac{3mg_0}{R}$. След заместване на $k$, $x$ и $u$ получаваме $x_{\max} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}R$ …… 3 точки